1)  Составим электронный баланс:

$\ChemForm5 | 2N в степени ( - 3 ) - 6\bar e \to N_2 в степени ( 0 )$
$\ChemForm6 | Mn в степени ( + 7 ) + 5\bar e \to Mn в степени ( + 2 )$

2)  Укажем, что $\ChemFormKMnO_4$ (за счет марганца в степени окисления +7) является окислителем, а $\ChemFormNH_3$ (за счет азота в степени окисления −3)  — восстановителем.

3)  Определим недостающие вещества, и расставим коэффициенты в уравнении реакции:

$\ChemForm10NH_3 + 6KMnO_4 + 9H_2SO_4 arrow 5N_2 + 6MnSO_4 + 3K_2SO_4 + 24H_2O$