📐 Математика. Профильный уровень

Из диаграммы видно, что наименьшая среднемесячная температура составляет −14 °C (см. рис.).

Ответ: −14.

Найдем координаты вектора $3\vec a:$

$3\vec a = ( - 8 \cdot 3; 6 \cdot 3 ) = ( - 24; 18 )$

Длина вектора $3\vec a$ равна

$|3\vec a| = $\sqrt{аргумента: ( - 24 ) ^2 + 18 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 576 + 324}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 900}$ аргумента = 30$

Ответ: 30.

Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 7, 4, 2 и 4, 3, 4:

$V=V_1 + V_2=7 \cdot 4 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 4=56 + 48=104$

Ответ: 104.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Поэтому

$S= $\frac{1}{2}$ \cdot 2 \cdot 6=6$ см2.

Ответ: 6.

Уравнение прямой имеет вид: $y=kx + b$ где k  — угловой коэффициент. Тогда , подставляя значения абсцисс и ординат точек $A ( 6;8 )$ и $( 0;0 )$ решая уравнения одновременно, получаем:

$k= \frac{4}{3}$

Так как прямые параллельны, то

$k_1=k_2= \frac{4}{3}$
Теперь подставляя значения $k= \frac{4}{3}$ и точку с координатами $( 6;4 )$ зная еще, что координата второй точки, принадлежащей прямой, $( 0;y )$ находим $y= - 4$

Ответ: −4.

по теореме Пифагора:

$AC= $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента ^2 - 10 ^2 =24$

Ответ: 24.

Выполним преобразования:

$\frac{6n в степени ( $\frac{1}{3}$ ) ,}{n в степени ( $\frac{1}{12}$ ) \cdot n в степени ( $\frac{1}{4}$ )} = 6n в степени ( $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{12}$ - $\frac{1}{4}$ ) =6n в степени 0 =6$

Ответ: 6.

Преобразуем уравнение:

$\cos ^2 ( \pi x ) \log_{3} ( 16x - 7 - 4x ^2 ) =3 ( 2 \cos ^2 ( \pi x ) - 1 ) + 3 ( 1 - \cos ^2 ( \pi x ) = сильно$
$ = сильно \cos ^2 ( \pi x ) \log_{3} ( 16x - 7 - 4x ^2 ) =3 \cos ^2 ( \pi x ) = сильно \cos ^2 ( \pi x ) ( \log_{3} ( 16x - 7 - 4x ^2 ) - 3 ) =0$ $ = сильно \cos ^2 ( \pi x ) \log_{3} ( 16x - 7 - 4x ^2 ) =3 \cos ^2 ( \pi x ) = сильно$
$ = сильно \cos ^2 ( \pi x ) ( \log_{3} ( 16x - 7 - 4x ^2 ) - 3 ) =0$

Поэтому либо

$\cos \pi x=0 = сильно \pi x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi k = сильно x= $\frac{1}{2}$ + k$ $k принадлежит Z$

либо

$\log_{3} ( 16x - 7 - 4x ^2 ) =3 = сильно 16x - 4x ^2 - 7=27 = сильно 4x ^2 - 16x + 34=0$
$D=16 ^2 - 16 \cdot 34 меньше 0$

Кроме того, $16x - 7 - 4x ^2$ должно быть положительно, иначе \log не определен. Значит,

$4x ^2 - 16x + 7 меньше 0 = сильно ( 2x - 1 ) ( 2x - 7 ) меньше 0 = сильно x принадлежит ( $\frac{1}{2}$ ; $\frac{7}{2}$ )$

поэтому из первого набор подходят лишь $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{2}$
б)  Имеем: $\frac{3}{2} меньше $\frac{\pi}{2}$ меньше $\frac{5}{2}$ меньше \pi$ поэтому подходит только $\frac{5}{2}$

Ответ: а) $x= \frac{3}{2}$ и $x= \frac{5}{2}$ б) $\frac{5}{2}$

Задача сводится к решению уравнения $m ( t ) = 5$ при заданных значениях параметров $m_0=40$ мг и $T=10$ мин:

$m_0 \cdot 2 в степени ( - $\frac{t}{T}$ ) = 5 = сильно 40 \cdot 2 в степени ( - $\frac{t}{10}$ ) = 5 = сильно 2 в степени ( - $\frac{t}{10}$ ) = $\frac{1}{8}$ = сильно - $\frac{t}{10}$ = - 3 = сильно t=30$ мин.

Ответ: 30.

Приведем решение Ильи Князева.
За каждый период полураспада t  =  T масса изотопа уменьшается вдвое. Следовательно, за первый период масса уменьшилась с 40 мг до 20 мг, за второй период  — с 20 мг до 10 мг, за третий период  — с 10 мг до 5 мг. Всего прошло три периода полураспада, или 30 минут.

[рис.] Изобразим осевое сечение комбинации заданных тел (см. рис.).
а)  Пусть образующая конуса равна 2а, высота  — 2r. Тогда: полная поверхность конуса

$S_k= \pi a \cdot 2a + \pi a ^2 =3 \pi a ^2$

Ясно, что 2r  — это диаметр шара.
Выразим зависимость r и a.

$2r= \frac{2a \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно r= \frac{a \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$

Поверхность шара $S_ш=4 \pi r ^2 =4 \pi \cdot $\frac{3a ^2}{4}$ =3 \pi a ^2$
Итак, $S_k=S_ш$ что и требовалось доказать.
б)  Часть конуса, которая лежит внутри шара (объем этого тела обозначим V1)представляет собой объединение:
другого = стороннего конуса, осевым сечением которого является ΔMBN (его объем обозначим Vk1, высоту  — hk1);
шарового сегмента MDN (объем обозначим Vσ), высота hσ которого равна $\frac{r}{2}$

$V_k_1= $\frac{1}{3}$ \pi b ^2 h_k_1$

Очевидно,

$b ^2 =r ^2 - ( $\frac{r}{2}$ ) ^2 =r ^2 - $\frac{r ^2}{4}$ = $\frac{3r ^2}{4}$ ;h_k_1= $\frac{3}{2}$ r$

$V_k_1= $\frac{1}{3}$ \pi \cdot $\frac{3r ^2}{4}$ \cdot $\frac{3}{2}$ r= \frac{3 \pi r ^3}{8}$

$V_\sigma = \pi h ^2 ( r - $\frac{r}{2 \cdot 3}$ ) = \pi \cdot $\frac{r ^2}{4}$ $\frac{5r}{6}$ = \frac{5 \pi r ^3}{24}$

$V_1=V_k_1 + V_\sigma = $\frac{14 \pi r ^3}{24}$ = \frac{7 \pi r ^3}{12}$

Часть шара, лежащая вне конуса (объем обозначим V2), есть дополнение только что рассмотренного геометрического тела до построенного шара (объем обозначим Vш).

$V_2=V_ш - V_1= $\frac{4 \pi r ^3}{3}$ - $\frac{7 \pi r ^3}{12}$ = $\frac{9 \pi r ^3}{12}$ = сильно $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{7 \pi r ^3}{12}$ : $\frac{9 \pi r ^3}{12}$ = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

Решим первое неравенство:

$1 - \frac{2}{} |x| меньше или = $\frac{23}{x ^2}$ ; $\frac{x ^2 - 2|x| - 23}{x ^2}$ меньше или = 0; \frac{( |x| - 1 - 2 $\sqrt{6}$ ) \times ( |x| + 2 $\sqrt{6}$ - 1 )}{x ^2} меньше или = 0; \frac{( x - 1 - 2 $\sqrt{6}$ ) \times ( x + 1 + 2 $\sqrt{6}$ )}{x ^2} меньше или = 0$ $1 - $
$ - \frac{2}{} |x| меньше или = $\frac{23}{x ^2}$ ; $\frac{x ^2 - 2|x| - 23}{x ^2}$ меньше или = 0; \frac{( |x| - 1 - 2 $\sqrt{6}$ ) \times ( |x| + 2 $\sqrt{6}$ - 1 )}{x ^2} меньше или = 0; \frac{( x - 1 - 2 $\sqrt{6}$ ) \times ( x + 1 + 2 $\sqrt{6}$ )}{x ^2} меньше или = 0$

Получаем $ - 1 - 2 $\sqrt{6}$ меньше или = x меньше 0$ или $0 меньше x меньше или = 1 + 2 \sqrt{6}$
Решим второе неравенство. Сделаем замену $y= \frac{1}{} x - 5$ Получим:

$\frac{2 - y}{2y - 1} меньше или = - 0,5 = сильно $\frac{1,5}{2y - 1}$ меньше или = 0 = сильно y меньше \frac{1}{2}$

Следовательно,

$\frac{1}{} x - 5 меньше $\frac{1}{2}$ = сильно $\frac{7 - x}{x - 5}$ меньше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше 5, новая строка x больше 7. \end{array} \right.$

Пересечём полученные решения. Поскольку $5 меньше 1 + 2 $\sqrt{6}$ меньше 7$ получаем: $ - 1 - 2 $\sqrt{6}$ меньше или = x меньше 0$ или $0 меньше x меньше 5$

Ответ: $[ - 1 - 2 $\sqrt{6}$ ;0 ) \cup ( 0;5 )$

Найдем производную заданной функции:

$y'= - ( $\frac{x}{x ^2 + 1}$ ) в степени ( \prime ) = - $\frac{( x ^2 + 1 ) - x ( 2x )}{( x ^2 + 1 ) ^2}$ = \frac{x ^2 - 1}{( x ^2 + 1 ) ^2}$

Найдем нули производной:

$x ^2 - 1=0 = сильно x ^2 =1 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=1, новая строка x= - 1. \end{array} \right.$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

[рис.]

Искомая точка минимума $x=1$

Ответ: 1.

а)  Сделаем замену $\cos x = y$ получим квадратное уравнение $6y ^2 - 7y - 5=0$ корнями которого являются числа $y= - \frac{1}{2}$ и $y= \frac{5}{3}$ Уравнение $\cos x= \frac{5}{3}$ не имеет решений, а из уравнения $\cos x= - \frac{1}{2}$ находим корни $x= $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k$ или $x= - $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k,k принадлежит Z$

б)  Найдем корни, принадлежащие отрезку $[ - \pi ;2 \pi ]$ Решим неравенства:

$ - \pi меньше или = - $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k меньше или = 2 \pi = сильно - $\frac{1}{6}$ меньше или = k меньше или = \frac{4}{3}$ откуда $k=0$ или $k=1$

$ - \pi меньше или = $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k меньше или = 2 \pi = сильно - $\frac{5}{6}$ меньше или = k меньше или = $\frac{2}{3}$ = сильно k=0$

Соответствующие найденным значениям параметров корни: $ - \frac{2 \pi}{3}$ $\frac{2 \pi}{3}$ и $\frac{4 \pi}{3}$

Ответ: а) $\{ $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k, - $\frac{2 \pi}{3}$ + 2 \pi k: k принадлежит Z \}$ б) $ - $\frac{2 \pi}{3}$ ; $\frac{2 \pi}{3}$ ; \frac{4 \pi}{3}$

[рис.] а)  Прямая AE пересекает прямую $A_1B_1$ в точке $K$ Прямая $D_1K$ пересекает ребро $B_1C_1$ в его середине  — точке  F. $AEFD_1$   — сечение куба плоскостью $D_1AE$ Треугольник $AKD_1$ = бедренный, а EF  — его средняя линия, поэтому $EF||AD_1$ Значит, $AEFD_1$   — = бокая трапеция.
б)  В треугольнике $AKD_1$ имеем $D_1K=AK=2AE=4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $AD_1= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot AD=4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ и высота $h= \sqrt{аргумента: AK ^2 - ( $\frac{AD_1}{2}$ )} аргумента ^2 =6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
EF  — средняя линия треугольника $AKD_1$ поэтому получаем:

$S_KEF= $\frac{1}{4}$ S_AKD_1$

$S_AEFD_1=S_AKD_1 - S_KEF= $\frac{3}{4}$ S_AKD_1= $\frac{3}{4}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot h \cdot AD_1=18$

Ответ: $18$

[рис.] а)  Поскольку $AB=CD$ то равны и дуги AB и CD, а значит и опирающиеся на них углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ Поэтому накрест лежащие углы, образованные сторонами BC и AD с секущей BD, равны. Поэтому ABCD  — трапеция. Ее боковые стороны равны по условию.
б)  Обозначим $BC=x$ Опустим перпендикуляры BE и CF на сторону AD. Тогда $AE= $\sqrt{аргумента: 5 ^2 - 3 ^2 =4}$ аргумента$ аналогично $DF=4$ поэтому $AD=x + 8$
Заметим, что треугольники BCP и ADP подобны (по двум углам) с коэффициентом $\frac{x}{x + 8}$ Поэтому $\frac{BP}{PD} = \frac{x}{x + 8}$ тогда $\frac{PD}{BD} = \frac{x + 8}{2x + 8}$
Опустим перпендикуляр PT на AD. Очевидно, прямоугольные треугольники BDE и PDT подобны, поэтому

$\frac{PT}{BE} = \frac{PD}{BD}$ и $PT= \frac{3x + 24}{2x + 8}$

Тогда

$\frac{25}{2} =S_APD= $\frac{1}{2}$ PT \cdot AD= $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{3x + 24}{2x + 8}$ \cdot ( x + 8 )$

откуда $( 3x + 24 ) ( x + 8 ) =25 ( 2x + 8 ) , 3x ^2 - 2x - 8=0, x=2$
Следовательно, $BC=2$ $AD=10$

$R=R_ABD= $\frac{AB \cdot BD \cdot AD}{4S_ABD}$ = $\frac{AB \cdot BD}{2BE}$ = \frac{5 \cdot $\sqrt{аргумента: 3 ^2 + ( 10 - 4 ) ^2}$ аргумента}{2 \cdot 3} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$

Ответ: $BC=2$ $AD=10$ $R= \frac{5 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$

Заменим мысленно каждую деталь типа В двумя деталями типа A, время работы от этого не изменится. Получим, что первая бригада рабочих должна изготовить 1005 деталей типа типа A, а вторая бригада должна изготовить 4020 деталей типа A, то есть в 4 раза больше. Значит, количество рабочих в бригадах необходимо разделить в соотношении 1 : 4. Поэтому в первой бригаде должно быть 193 : 5 = 38,6 чел., а во второй  — в 4 раза больше, то есть 154,4 чел.
Дробное число рабочих изготавливать детали не может, поэтому найденные значения необходимо округлить. Если в первой бригаде будет 38 рабочих, а во второй  — 154 рабочих (в 4,05 раза больше), то первая бригада закончит работу позже второй. Если же в первой бригаде будет 39 рабочих, а во второй 153 рабочих (в 3,92 раза больше), то вторая бригада закончит позже первой. Для каждого из этих случаев оценим время выполнения заказа. Другие варианты разбиения рабочих по бригадам (37 на 155 чел., 40 на 152 чел. и т. д.) не могут дать меньшего времени, по сравнению с первыми двумя, поскольку чем дальше отношение числа рабочих в бригадах от соотношения 1 : 4, тем дольше будет работать более медленная из бригад, в то время как уже закончившая свою часть заказа бригада будет простаивать.
Пусть одна деталь делается рабочим за 1 единицу времени; не ограничивая общности, положим эту единицу = й 1 минуте. Тогда бригада из 38 человек на изготовление 1005 деталей затратит $\frac{1005}{38} = 26,45... мин$ а бригада из 154 человек затратит на изготовление 2010 деталей $2 \cdot $\frac{2010}{154}$ = 26,1... мин$ В этом случае заказ будет закончен больше чем за 26,4 мин. Если же в первой бригаде 39 чел., то на изготовление 1005 деталей они затратят $\frac{1005}{39} = 25,8... мин$ в то время как вторая бригада из 153 человек затратит на изготовление 2010 деталей $2 \cdot $\frac{2010}{153}$ = 26,27... мин$ В этом случае заказ будет закончен меньше чем за 26,3 мин. Значит, в первой бригаде должно быть 39 рабочих, а во второй бригаде  — 153 рабочих.

Ответ: 39 и 153.

Примечание.
Эта задача из варианта Александра Ларина впервые предлагалась абитуриентам экономического факультета МГУ в 1992 году под номером 3 из шести задач в варианте. Авторское решение аналогичной задачи мы привели в задаче 632165.

Сразу заметим, что здесь n  — не отрицательно.

$\text{tg} ( $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента ^2 - x ^2 ) =0 = сильно $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента ^2 - x ^2 = \pi n,n принадлежит Z$

При неотрицательных целых значениях n:

$a ^2 - x ^2 = \pi ^2 n ^2 = сильно x ^2 =a ^2 - \pi ^2 n ^2$

Поскольку исходное уравнение обязано иметь ровно 132 различных корня (число 132 – четное),
  — x не может принять значения = го нулю;
  — каждому значению n соответствует ровно два значения x,
то значения параметра а должны быть подобраны таким образом, чтобы было выполнено условие положительности разности $a ^2 - \pi ^2 n ^2$ ровно 66 раз, что возможно при $n принадлежит \{ 0;1;2;4;...;64;65 \}$ (в этом множестве всего 66 элементов).
Такое требование будет выполнено только в том случае, если будет справедливо неравенство $( 65 \pi ) ^2 меньше a ^2 меньше ( 66 \pi ) ^2$ т. е. $ - 66 \pi меньше a меньше - 65 \pi$ или $65 \pi меньше a меньше 66 \pi$

Ответ: $( - 66 \pi ; - 65 \pi ) \cup ( 65 \pi ;66 \pi )$

[рис.] Пусть $t=2 в степени x$ тогда каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение x. Условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда уравнение

$t в степени 4 - 6t ^3 + 8t ^2 - 2 ( 1 - a ) t - ( 1 - a ) ^2 =0$

имеет три положительных корня. Преобразуем уравнение:

$t в степени 4 - 6t ^3 + 8t ^2 - 2 ( 1 - a ) t - ( 1 - a ) ^2 =0 = сильно t в степени 4 - 6t ^3 + 9t ^2 - t ^2 - 2 ( 1 - a ) t - ( 1 - a ) ^2 =0 = сильно$
$ = сильно ( t ^2 - 3t ) ^2 - ( t + 1 - a ) ^2 =0 = сильно ( t ^2 - 4t - 1 + a ) ( t ^2 - 2t + 1 - a ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t ^2 - 4t - 1 + a=0, t ^2 - 2t + 1 - a=0. \end{array} \right.$

Построим график полученной совокупности в системе координат tOa при $t больше 0$ График первого уравнения $a= - t ^2 + 4t + 1$   — парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке $( 2; 5 )$ График второго уравнения $a= t ^2 - 2t + 1$ парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке $( 1; 0 )$ Графики пересекаются в точках $( 0; 1 )$ и $( 3; 4 )$ Анализируя графики, получаем, что совокупность имеет три положительных корня при $0 меньше a меньше 1$ $1 меньше a меньше 4$ и $4 меньше a меньше 5$

Ответ: $( 0; 1 ) \cup ( 1; 4 ) \cup ( 4; 5 )$

а)  Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

б)  Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше $\frac{5}{5 + 9} = \frac{5}{14}$ что больше $\frac{4}{13}$ Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку $\frac{7}{7 + 9} = $\frac{7}{16}$ больше \frac{2}{5}$ но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе  — 10.

в)  Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой  — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.
Пусть в группе $m_1$ мальчиков, посетивших театр, $m_2$ мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
Из условия:

$\frac{m_1}{m_1 + d} меньше или = $\frac{4}{13}$ , $\frac{m_2}{m_2 + d}$ меньше или = \frac{2}{5}$

значит, $\frac{m_1}{d} меньше или = $\frac{4}{9}$ , $\frac{m_2}{d}$ меньше или = \frac{2}{3}$ Тогда $\frac{m_1 + m_2}{d} меньше или = \frac{10}{9}$ поэтому доля девочек в группе:

$\frac{d}{m_1 + m_2 + d} = \frac{1}{$\frac{m_1 + m_2,}{d}$ + 1} больше или = \frac{1}{$\frac{10,}{9}$ + 1} = \frac{9}{19}$

Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна $\frac{9}{19}$

Ответ: а)  да; б)  10; в) $\frac{9}{19}$