1.  Запишем уравнения реакций:

$\ChemForm2H_2O = 2H_2\uparrow + O_2\uparrow ( 1 )$
$\ChemFormBa ( NO_3 ) _2 + Na_2SO_4 = BaSO_4\downarrow + 2NaNO_3 ( 2 )$

2.  Найдем массу раствора нитрата бария после пропускания электрического тока:

$\it m_исх\rm ( Ba ( NO_3 ) _2 ) = 522 \cdot 0,05 = 26,1г$
$\nu_исх.\rm ( Ba ( NO_3 ) _2 ) = $\frac{26,1}{261}$ = 0,1моль$

На аноде после электролиза будет выделяться кислород:

$\nu\rm ( O_2 ) = $\frac{8,4}{22,4}$ = 0,375моль$
$\nu_эл - з\rm ( H_2O ) = 2\nu\rm ( O_2 ) = 0,75моль$
$\it m\rm=\nu\rm \cdot M\rm$
$\it m_эл - з\rm ( H_2O ) = 0,75 \cdot 18 = 13,5 г$
$\it m_1\rm ( раствора ) = \it m_раствора\rm ( Ba ( NO_3 ) _2 ) - \it m_эл - з\rm ( H_2O )$
$\it m_1\rm ( раствора ) = 522 - 13,5 = 508,5 г$

3.  За $\it m_0\rm ( H_2O ) = x$ обозначим массу воды, взятую для приготовления раствора сульфата натрия:

$\nu_исх.\rm ( Na_2SO_4 \cdot 10H_2O ) = $\frac{96,6}{322}$ = 0,3моль$
$\nu_исх.\rm ( Na_2SO_4 \cdot 10H_2O ) = \nu\rm ( Na_2SO_4 ) = 0,3моль$
$\it m_общ.\rm ( Na_2SO_4 ) = 0,3 \cdot 142 = 42,6 г$
$\it m\rm ( насыщ. раствора Na_2SO_4 ) = \it m\rm ( Na_2SO_4 \cdot 10H_2O ) + \it m_0\rm ( H_2O )$

Массовая доля сульфата натрия в растворе, полученного растворением глауберовой соли в воде:

$\omega_1\rm ( Na_2SO_4 ) = $\frac{\it m_общ.\rm ( Na_2SO_4 )}{\it m\rm ( Na_2SO_4 \cdot 10H_2O ) + \it m_0\rm ( H_2O )}$ = \frac{42,6}{x + 96,6}$

Масса конечного раствора:

$\nu_прореаг.\rm ( Na_2SO_4 ) = \nu\rm ( BaSO_4 ) = \nu\rm ( Ba ( NO_3 ) _2 ) = 0,1моль$
$\it m\rm ( BaSO_4 ) = 0,1 \cdot 233 = 23,3 г$
$\nu_не прореаг.\rm ( Na_2SO_4 ) = 0,3 - 0,1 = 0,2моль$
$\it m_не прореаг.\rm ( Na_2SO_4 ) = 0,2 \cdot 142 = 28,4 г$
$\it m_2\rm ( раствора ) = \it m_1\rm ( раствора ) + \it m\rm ( Na_2SO_4 \cdot 10H_2O ) + \it m_0\rm ( H_2O ) - \it m\rm ( BaSO_4 )$ $\it m_2\rm ( раствора ) = \it m_1\rm ( раствора ) + $
$ + \it m\rm ( Na_2SO_4 \cdot 10H_2O ) + \it m_0\rm ( H_2O ) - \it m\rm ( BaSO_4 )$

Массовая доля сульфата натрия в конечном растворе (после протекания реакции с нитратом бария):

$\omega_2\rm ( Na_2SO_4 ) = $\frac{\it m_не прореаг.\rm ( Na_2SO_4 )}{\it m_2\rm ( раствора )}$ = $\frac{28,4}{508,5 + x + 96,6 - 23,3}$ = \frac{28,4}{x + 581,8}$ $\omega_2\rm ( Na_2SO_4 ) = $\frac{\it m_не прореаг.\rm ( Na_2SO_4 )}{\it m_2\rm ( раствора )}$ =$
$= $\frac{28,4}{508,5 + x + 96,6 - 23,3}$ = \frac{28,4}{x + 581,8}$
$4,5 \omega_2\rm ( Na_2SO_4 ) = \omega_1\rm ( Na_2SO_4 )$
$\frac{4.5 \cdot 28,4}{x + 581,5} = \frac{42,6}{x + 96,6}$
$x = \it m_0\rm ( H_2O ) = 146г$

4.  Растворимость показывает сколько грамм вещества может содержаться в насыщенном растворе на 100  г воды. Вычислим растворимость безводного сульфата натрия:

$\nu_к/г\rm ( H_2O ) = 10 \nu\rm ( Na_2SO_4 \cdot 10H_2O ) = 3 моль$
$\it m_к/г\rm ( H_2O ) = 3 \cdot 18 = 54г$
$\it m\rm ( в насыщ. раствора H_2O ) =\it m_к/г\rm ( H_2O ) + \it m_0\rm ( H_2O ) = 54 + 146 = 200 г$ $\it m\rm ( в насыщ. раствора H_2O ) =$
$=\it m_к/г\rm ( H_2O ) + \it m_0\rm ( H_2O ) = 54 + 146 = 200 г$

В 200 г воды растворяется 42,6 г сульфата натрия, значит, на 100 воды:

$S = $\frac{100 \cdot 42,6}{200}$ = 21,3 г$

Растворимость сульфата натрия при комнатной температуре:

$S ( Na_2SO_4 ) = 21,3 г соли на 100 г воды$