[рис.] Проведем радиусы OB и OC в точки касания. Треугольники AOB и AOC  — прямоугольные, $OB = OC = R$ где R  — радиус окружности. Гипотенуза AO этих треугольников  — общая, следовательно, эти треугольники равны. Тогда равны углы:

$\angle BAO = \angle OAC = \frac{60 ^{\circ}}{2} = 30 ^{\circ}$

Из треугольника AOB найдем радиус OB:

$OB = AO \cdot \sin 30 ^{\circ} = 8 \cdot $\frac{1}{2}$ = 4$

Ответ: 4.

Примечание.
Длину отрезка OB можно найти без использования \sin а угла. В прямоугольном треугольнике ABO катет OB лежит напротив угла в 30°, следовательно, он равен половине гипотенузы AO:

$OB = $\frac{AO}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4$