Угол BOC  — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Угол BAC вписанный, он равен половине дуги, на которую он опирается. Поскольку эти углы опираются на одну и ту же дугу, ∠BOC  =  2∠BAC. Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник ABC  — = бедренный, углы при его основании равны, поэтому

$\angle BAC=\angle BCA= \frac{180 ^{\circ} - 177 ^{\circ}}{2} =1,5 ^{\circ}$

Следовательно, угол BОC  =  3°.

Ответ: 3.
[рис.]

Примечание.
Одно время это задание было снабжено авторским рисунком с острым углом В. Заметим, что рисунок не влияет на справедливость решения  — задачу можно решить и вовсе без рисунка.