[рис.] Рассмотрим маленькие треугольники $F_1AA_1$ и $A_1BB_1$ $F_1A=A_1B,AA_1=BB_1$ $\angle A=\angle B=120 ^{\circ}$ следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, $A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1E_1=E_1F_1=F_1A_1$
Любой угол правильного шестиугольника равен $\frac{180 ^{\circ} \cdot ( 6 - 2 )}{6} =120 ^{\circ}$ Треугольники $F_1AA_1$ и $A_1BB_1$   — = бедренные, углы при основаниях равны $\frac{180 ^{\circ} - 120 ^{\circ}}{2} =30 ^{\circ}$ Рассмотрим развернутый угол $FF_1A:$

$180 ^{\circ}=\angle FF_1E_1 + \angle E_1F_1A_1 + \angle AF_1A_1 = сильно$
$ = сильно \angle E_1F_1A_1=180 ^{\circ} - \angle FF_1E_1 - \angle AF_1A_1=180 ^{\circ} - 30 ^{\circ} - 30 ^{\circ}=120 ^{\circ}$

Аналогично все остальные углы шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ равны $120 ^{\circ}$ следовательно, шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$   — правильный.