[рис.] Пусть площадь треугольника ABC равна S. Медиана делит треугольник на два = великих треугольника, поэтому $S_ABM=S_BMC= $\frac{1}{2}$ S$ Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:

$\frac{S_ABP}{S_APC} = $\frac{AB}{AC}$ = \frac{1}{3}$

Откуда $S_ABP= $\frac{1}{4}$ S$ $S_APC= $\frac{3}{4}$ S$ Рассмотрим треугольник ABM: AK  — биссектриса, следовательно:

$\frac{S_ABK}{S_AKM} = $\frac{AB}{AM}$ = \frac{2}{3}$

Откуда $S_ABK= $\frac{2}{5}$ S_ABM= $\frac{1}{5}$ S$ $S_AKM= $\frac{3}{5}$ S_ABM= $\frac{3}{10}$ S$ Выразим площадь треугольника BPK:

$S_BPK=S_ABP - S_ABK= $\frac{1}{4}$ S - $\frac{1}{5}$ S= $\frac{1}{20}$ S$

Найдем отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM:

$\frac{S_ABK}{S_KPCM} = $\frac{S_ABK}{S_BMC - S_BPK}$ = $\frac{\tfrac1}{5}$ S\tfrac12S - \tfrac120S= $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{20}{9}$ = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$