График функции $y=x ^2 + ( 2a + 4 ) x + 8a + 1$   — парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, данное неравенство не имеет решений в том и только том случае, когда эта парабола целиком расположена в верхней полуплоскости. Отсюда следует, что дискриминант квадратного трехчлена $x ^2 + ( 2a + 4 ) x + 8a + 1$ должен быть отрицателен.
Найдем четверть дискриминанта: $\frac{D}{4} = ( a + 2 ) ^2 - ( 8a + 1 ) =a ^2 - 4a + 3$ Полученный квадратный трехчлен отрицателен при $1 меньше a меньше 3$

Ответ: $1 меньше a меньше 3$