Начнем считать количество путей с конца маршрута – с города Л. NX  — количество различных путей из города А в город X, N  — общее число путей.

В "Л" можно приехать из И, Е, Ж или К, поэтому N = NЛ = NИ + NЕ + N Ж+ N К (*)

Аналогично:

NИ = NД + N Е;
NЕ = NД + NВ + NЖ;
NЖ = NВ + N Г;
NК = NЖ.

Добавим еще вершины:

NД = NБ + NВ = 2 + 1 = 3;
NВ = NА = 1;
NГ = NВ + N А = 1 + 1 = 2;
NБ = NА + N В = 1 + 1 = 2.

Преобразуем вершины:

NИ = NД+ N Е = 3 + 7 = 10;
NЕ = NД + NВ + NЖ = 3 + 1 + 3 = 7;
NЖ = NВ+ N Г = 1 + 2 = 3;
NК = NЖ = 3.

Подставим в формулу (*):

N = NЛ = 10 + 7 + 3 + 3 = 23.

Ответ: 23.