Введем обозначения:

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

Применив преобразование импликации, получаем:

¬(P → ((¬ A ∧ Q)→¬ P)) ⇔ ¬(¬P ∨ (¬(¬ A ∧ Q)∨ ¬P) ⇔ ¬(¬P ∨ A ∨ ¬Q) .

¬(¬P ∨ A ∨ ¬Q)) = 0 ⇔ ¬P ∨ A ∨ ¬Q = 1 .

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение.
Условие ¬P истинно на множестве (−∞, 117] ∪ [158, ∞).

Условие ¬Q истинно на множестве (−∞, 130] ∪ [180, ∞).
Поскольку выражение ¬P ∨ A ∨ ¬Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинным на множестве [130; 158]. Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 158 − 130  =  28.

Ответ: 28.

Приведём решение Сергея Донец на PascalABC.NET:

begin
var P := 117..158;var Q := 130..180;
var setX:=|P.First,P.Last,Q.First,Q.Last,-9999,9999|
.SelectMany(x->|x-0.1,x,x+0.1|);
setX.Order.Combinations(2).Select(m->m[0]..m[1])
.Where(A->setX.All(x->
not((x in P)A.Size).Round.Print;
end.