[рис.]
Решим задачу графически. Условие (3x + 4y ≠ 70) задаёт множество, отмеченное на рисунке закрашенной областью. Чтобы исходное выражение было тождественно истинно для любых целых и неотрицательных x и y, прямые x A и y A должны образовывать прямой угол на прямой y  =  x, вершина которого лежит выше прямой $y= $\frac{35}{2}$ - $\frac{3}{4}$ x$ Следовательно, они должны образовывать прямой угол, пересекаясь в точке (11, 11). Таким образом, наименьшее значение A равняется 11.

Ответ: 11.

Приведём другое решение на языке Python.

for a in range(0, 300):
k = 0
for x in range(0, 300):
for y in range(0, 300):
if (3*x + 4*y != 70) or (a > x) or (a > y):
k += 1
if k == 90_000:
print(a)
break