Искомое количество программ = произведению количества программ, получающих из числа 1 число 22, на количество программ, получающих из числа 22 число 70, при этом траектория вычислений должна содержать число 22.
Пусть R(n)  — количество программ, которые число 1 преобразуют в число n.
Верны следующие соотношения:
R(n)  =  R(n – 1) + R(n : 3) (если n кратно 3).

R(1)  =  1;
R(2)  =  1;
R(3)  =  2;
R(4)  =  2;
R(5)  =  2;
R(6)  =  3;
R(7)  =  3;
R(8)  =  3;
R(9)  =  5;
R(10)  =  5;
R(11)  =  5;
R(12)  =  7;
R(13)  =  7;
R(14)  =  7;
R(15)  =  9;
R(16)  =  9;
R(17)  =  9;
R(18)  =  12;
R(19)  =  12;
R(20)  =  12;
R(21)  =  15;
R(22)  =  15.

Из числа 22 число 70 можно получить тремя способами: последовательностью команд 21111, последовательностью команд 121 и последовательностью команд 11..11.
Таким образом, количество программ, удовлетворяющих условию задачи, = 15 · 3  =  45.

Ответ: 45.

Приведём другое решение на языке Python.

def f(x, y):
if x > y:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x * 3, y)
print(f(1, 22) * f(22, 70))