Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 74. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 74 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 73.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
1. а) При каких значениях числа S Петя может выиграть в один ход? Укажите все такие значения.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
2. Укажите три таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём
— Петя не может выиграть за один ход, но
— Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для каждого из указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.
3. Укажите значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, однако у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть 1-м ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в позиции.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
1. а) При каких значениях числа S Петя может выиграть в один ход? Укажите все такие значения.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
2. Укажите три таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём
— Петя не может выиграть за один ход, но
— Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для каждого из указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.
3. Укажите значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, однако у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть 1-м ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в позиции.
💡 Пошаговый разбор и решение:
1. а) Петя может выиграть, если S = 25, …, 73. Для этого ему достаточно утроить количество камней в куче. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 73 камней.
б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 24 камня. Тогда после первого хода Пети в куче будет 25 камней или 26 камней или 72 камня. Во всех случаях Ваня утраивает количество камней и выигрывает первым ходом.
2. Возможные значения S: 22, 23, 8. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако, он может получить кучу из 24 камней (при S = 22 нужно добавить 2 камня, при S = 23 нужно добавить 1 камень, при S = 8 нужно утроить количество камней). Ситуация, когда в куче 24 камня, разобрана в п. 1 б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.
3. Возможное значение S: 21. После первого хода Пети в куче будет 22 камня, 23 камня или 63 камня. Если в куче станет 63 камня, Ваня утроит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуации, когда в куче 22 камня или 23 камня уже разобраны в п. 2. В этих ситуациях игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом. В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня).
[рис.]
[рис.]
б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 24 камня. Тогда после первого хода Пети в куче будет 25 камней или 26 камней или 72 камня. Во всех случаях Ваня утраивает количество камней и выигрывает первым ходом.
2. Возможные значения S: 22, 23, 8. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако, он может получить кучу из 24 камней (при S = 22 нужно добавить 2 камня, при S = 23 нужно добавить 1 камень, при S = 8 нужно утроить количество камней). Ситуация, когда в куче 24 камня, разобрана в п. 1 б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.
3. Возможное значение S: 21. После первого хода Пети в куче будет 22 камня, 23 камня или 63 камня. Если в куче станет 63 камня, Ваня утроит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуации, когда в куче 22 камня или 23 камня уже разобраны в п. 2. В этих ситуациях игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом. В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня).
[рис.]
[рис.]
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 29440 • Задание №2
Логическая функция F задаётся выражением:
((x → y)∨(z → w))∧((z ≡ y) → (w ≡ x)).
Дан частично заполненный фр...
ID 32181 • Задание №13
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выпо...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Выполнены второе и третье задания.
Для первого задания правильно перечислены позиции, в которых Паша выигрывает первым ходом (п. 1а), и правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию при указанных значениях S (п. 1б). При этом допускаются недочёты следующих типов:
– в п. 1а не указано, каким ходом выигрывает Паша;
– в п. 1б не указано, что игрокам нет смысла удваивать количество камней в куче.
Здесь и далее в решениях допускаются арифметические ошибки, которые не искажают сути решения и не приводят к неправильному ответу | 3
Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 балла, и выполнено одно из следующих условий.
· Выполнено третье задание.
· Выполнены первое и второе задания.
· Первое задание выполнено, возможно, при наличии недочётов, указанных в критериях на 3 балла; для второго задания (i) правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию в каждой из указанных позиций, и (ii) правильно указан первый ход Паши при выигрышной стратегии, однако не указано, что после выбранного хода Паши получается позиция, выигрышная для Вали; для третьего задания правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию | 2
Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 или 2 балла, и выполнено одно из следующих условий.
· Первое задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на 3 балла.
· Второе задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на 2 балла.
· Для второго и третьего заданий во всех случаях правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию | 1
Не выполнено ни одно из условий, позволяющих поставить 1, 2 или 3 балла | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Выполнены второе и третье задания.
Для первого задания правильно перечислены позиции, в которых Паша выигрывает первым ходом (п. 1а), и правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию при указанных значениях S (п. 1б). При этом допускаются недочёты следующих типов:
– в п. 1а не указано, каким ходом выигрывает Паша;
– в п. 1б не указано, что игрокам нет смысла удваивать количество камней в куче.
Здесь и далее в решениях допускаются арифметические ошибки, которые не искажают сути решения и не приводят к неправильному ответу | 3
Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 балла, и выполнено одно из следующих условий.
· Выполнено третье задание.
· Выполнены первое и второе задания.
· Первое задание выполнено, возможно, при наличии недочётов, указанных в критериях на 3 балла; для второго задания (i) правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию в каждой из указанных позиций, и (ii) правильно указан первый ход Паши при выигрышной стратегии, однако не указано, что после выбранного хода Паши получается позиция, выигрышная для Вали; для третьего задания правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию | 2
Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 или 2 балла, и выполнено одно из следующих условий.
· Первое задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на 3 балла.
· Второе задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на 2 балла.
· Для второго и третьего заданий во всех случаях правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию | 1
Не выполнено ни одно из условий, позволяющих поставить 1, 2 или 3 балла | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №26 по предмету Информатика:
ID 34439
Системный администратор раз в неделю создаёт архив пользовательских файлов. Однако объём диска,...
ID 34440
Системный администратор раз в неделю создаёт архив пользовательских файлов. Однако объём диска,...
ID 34441
Системный администратор раз в неделю создаёт архив пользовательских файлов. Однако объём диска,...
ID 34442
Системный администратор раз в неделю создаёт архив пользовательских файлов. Однако объём диска,...
ID 34443
Системный администратор раз в неделю создаёт архив пользовательских файлов. Однако объём диска,...