Найдем производную заданной функции:

$y'= $\frac{1}{11x}$ \cdot 11 - 11= $\frac{1}{x}$ - 11$

Найдем нули производной на заданном отрезке:

$$$\begin{cases} новая строка $\frac{1}{x}$ - 11=0 \\[6pt] новая строка $\frac{1}{22}$ меньше или = x меньше или = $\frac{5}{22}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x= $\frac{1}{11}$ \\[6pt] новая строка $\frac{1}{22}$ меньше или = x меньше или = $\frac{5}{22}$ \end{cases}$$ . = сильно x= \frac{1}{11}$

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
[рис.]
В точке $x= \frac{1}{11}$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

$y ( $\frac{1}{11}$ ) = \ln 1 - $\frac{1}{11}$ \cdot 11 + 9=8$

Ответ: 8.