Открытый банк заданий ЕГЭ и ОГЭ 2026

Про натуральное число N известно, что сумма его четырех наименьших натуральных делителей равна 12.
А)  Может ли сумма четырех наибольших натуральных делителей числа N равняться 195?
Б)  Может ли сумма четырех наибольших натуральных делителей числа N равняться 120?
В)  Найдите все возможные числа N, у которых сумма четырех наибольших натуральных делителей не превосходит 100.

Ваш ответ:

Пошаговый разбор и решение:

а)  Возможны лишь два набора четырех наименьших делителей, удовлетворяющих условию задачи: 1,2,4,5 и 1,2,3,6. В первом случае сумма четырех наибольших делителей равна $N + N/2 + N/4 + N/5= \frac{39N}{20}$ во втором случае сумма четырех наибольших делителей равна $N + N/2 + N/3 + N/6=2N$ Пусть $\frac{39N}{20} =195$ тогда $N=100$ Четыре его наименьших делителя равны 1,2,4,5.

б)  Пусть $\frac{39N}{20} =120$ тогда N не является целым. Пусть $2N=120$ тогда $N=60$ Но наименьшие делители 60 равны 1,2,3,4, что не удовлетворяет условию.

в)  Пусть наименьшие делители числа N равны 1,2,4,5. Тогда $\frac{39N}{20} \leqslant100$ то есть $N\leqslant51$ Кроме этого N должно делиться на 20, и не делиться на 3. Этому условию удовлетворяют числа 20 и 40.
Пусть наименьшие делители числа N равны 1,2,3,6. Тогда $2N\leqslant100$ то есть $N\leqslant50$ Кроме этого N должно делиться на 6, и не делиться ни на 4, ни на 5. Этому условию удовлетворяют числа 6, 18 и 42.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6, 18, 20, 40, 42.

Правильный ответ: а) да; б) нет; в) 6, 18, 20, 40, 42

Критерии оценивания:

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания | Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2

Верно получен один из следующих результатов:
  — пример в п. а;
  — обоснованное решение п. б;
  — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
  — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0

Максимальный балл | 4