[рис.] На стеклянную призму с преломляющим углом $альфа =30 ^{\circ}$ нормально к ее передней грани падает параллельный пучок монохроматического зеленого света, для которого показатель преломления n = 1,65 (стекло — тяжелый флинт). После преломления в призме пучок идет вдоль главной оптической оси тонкой линзы с фокусным расстоянием F = 30 см и после нее собирается в точку на экране, параллельном плоскости линзы. Затем при том же расположении элементов оптической системы по тому же направлению на призму пускают параллельный пучок монохроматического голубого света, для которого показатель преломления стекла из-за явления дисперсии света больше на $\Delta n=0,01$ На какое расстояние $\Delta l$ при этом сдвинется точка, в которой собираются лучи на экране?
💡 Пошаговый разбор и решение:
1. Построим ход одного луча из первого и одного луча из второго пучка света в системе (см. рис.).
[рис.]
2. Угол падения света на переднюю грань призмы равен нулю для обоих лучей, так что они проходят внутрь стекла, не преломляясь. Угол падения на заднюю грань призмы, как следует из построения, для обоих лучей одинаков и равен $альфа$
3. Угол преломления $бета$ определяется из закона преломления света: $\sin бета =n \sin альфа$ для первого луча и $\sin ( бета + \Delta бета ) = ( n + \Delta n ) \sin альфа$ для второго луча. Из этих двух уравнений с учетом условий $\Delta n меньше меньше n$ $\Delta бета меньше меньше бета$ $\cos \Delta бета \approx 1$ $\sin \Delta бета \approx \Delta бета$ имеем:
$\sin бета \cdot \cos \Delta бета + \cos бета \cdot \sin \Delta бета = ( n + \Delta n ) \sin альфа$
$n \sin альфа \cdot 1 + \cos бета \cdot \Delta бета = ( n + \Delta n ) \sin альфа$
$\Delta бета \approx $\frac{\Delta n \sin альфа}{\cos бета}$ = \frac{\Delta n \sin альфа}{( 1 - n ^2 \sin ^2 альфа ) в степени ( $\frac{1,}{2}$ )} }$
4. Как следует из формулы тонкой линзы, она собирает параллельный пучок в точку в ее фокальной плоскости, причем для первого пучка эта точка 1 лежит на оптической оси линзы на экране, находящемся на расстоянии F от линзы, а второй пучок, идущий под малым углом $\Delta бета$ к оптической оси, собирается на экране в точке 2 на расстоянии
$\Delta l\approx F\Delta бета \approx \frac{F \cdot \Delta n \sin альфа}{( 1 - n ^2 \sin ^2 альфа ) в степени ( $\frac{1,}{2}$ )}$
от точки 1.
5. Окончательно получаем, подставляя численные данные из условия:
$\Delta l\approx $\frac{0,3 \cdot 0,01 \cdot 0,5}{( 1 - 1,65 ^2 \cdot 0,5 ^2 ) в степени ( 0,5 )}$ \approx $\frac{1,5 \cdot 10 в степени ( - 3 )}{0,5651}$ \approx 2,654 \cdot 10 в степени ( - 3 ) м \approx 2,65 \; мм$
Ответ: $\Delta l\approx \frac{F \cdot \Delta n \sin альфа}{( 1 - n ^2 \sin ^2 альфа ) в степени ( $\frac{1,}{2}$ )} \approx 2,654 \cdot 10 в степени ( - 3 ) м \approx 2,65 \; мм$
[рис.]
2. Угол падения света на переднюю грань призмы равен нулю для обоих лучей, так что они проходят внутрь стекла, не преломляясь. Угол падения на заднюю грань призмы, как следует из построения, для обоих лучей одинаков и равен $альфа$
3. Угол преломления $бета$ определяется из закона преломления света: $\sin бета =n \sin альфа$ для первого луча и $\sin ( бета + \Delta бета ) = ( n + \Delta n ) \sin альфа$ для второго луча. Из этих двух уравнений с учетом условий $\Delta n меньше меньше n$ $\Delta бета меньше меньше бета$ $\cos \Delta бета \approx 1$ $\sin \Delta бета \approx \Delta бета$ имеем:
$\sin бета \cdot \cos \Delta бета + \cos бета \cdot \sin \Delta бета = ( n + \Delta n ) \sin альфа$
$n \sin альфа \cdot 1 + \cos бета \cdot \Delta бета = ( n + \Delta n ) \sin альфа$
$\Delta бета \approx $\frac{\Delta n \sin альфа}{\cos бета}$ = \frac{\Delta n \sin альфа}{( 1 - n ^2 \sin ^2 альфа ) в степени ( $\frac{1,}{2}$ )} }$
4. Как следует из формулы тонкой линзы, она собирает параллельный пучок в точку в ее фокальной плоскости, причем для первого пучка эта точка 1 лежит на оптической оси линзы на экране, находящемся на расстоянии F от линзы, а второй пучок, идущий под малым углом $\Delta бета$ к оптической оси, собирается на экране в точке 2 на расстоянии
$\Delta l\approx F\Delta бета \approx \frac{F \cdot \Delta n \sin альфа}{( 1 - n ^2 \sin ^2 альфа ) в степени ( $\frac{1,}{2}$ )}$
от точки 1.
5. Окончательно получаем, подставляя численные данные из условия:
$\Delta l\approx $\frac{0,3 \cdot 0,01 \cdot 0,5}{( 1 - 1,65 ^2 \cdot 0,5 ^2 ) в степени ( 0,5 )}$ \approx $\frac{1,5 \cdot 10 в степени ( - 3 )}{0,5651}$ \approx 2,654 \cdot 10 в степени ( - 3 ) м \approx 2,65 \; мм$
Ответ: $\Delta l\approx \frac{F \cdot \Delta n \sin альфа}{( 1 - n ^2 \sin ^2 альфа ) в степени ( $\frac{1,}{2}$ )} \approx 2,654 \cdot 10 в степени ( - 3 ) м \approx 2,65 \; мм$
Правильный ответ:
$\Delta l\approx дробь: числитель: F умножить на \Delta n синус альфа , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус n в квадрате синус в квадрате альфа правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби \approx 2,654 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка м \approx 2,65 \; мм$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 108133 • Задание №24
В закрытом сосуде находится влажный воздух массой 40 г при температуре 90 °C и давлении $p = 2 умножить на 10 ...
ID 106268 • Задание №15
Отрицательно заряженный ион движется по окружности в однородном магнитном поле. Как изменятся модуль ускорения...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания ответа на задание С6 | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом; (в данном случае: закон преломления света, ход лучей в призме, дисперсия света, правила построения изображений в тонкой линзе, тригонометрический соотношения);
II) описаны все вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, и обозначений, используемых в условии задачи);
III) проведены необходимые математические преобразования (допускается вербальное указание на их проведение) и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются следующие недостатки.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
ИЛИ
В решении лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.).
ИЛИ
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца.
ИЛИ
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0
Максимальное количество баллов | 3
Критерии оценивания ответа на задание С6 | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом; (в данном случае: закон преломления света, ход лучей в призме, дисперсия света, правила построения изображений в тонкой линзе, тригонометрический соотношения);
II) описаны все вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, и обозначений, используемых в условии задачи);
III) проведены необходимые математические преобразования (допускается вербальное указание на их проведение) и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются следующие недостатки.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
ИЛИ
В решении лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.).
ИЛИ
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца.
ИЛИ
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0
Максимальное количество баллов | 3
🔗 Другие задания линии №25 по предмету Физика:
ID 108349
[рис.] Горизонтальный проводник длиной 1 м движется равноускоренно в вертикальном однородном ма...
ID 108350
В однородном магнитном поле, индукция которого $1,67 умножить на 10 в степени левая круглая ско...
ID 108351
Ядро изотопа водорода $_1 в квадрате H$ — дейтерия — движется в однородном магнитном поле с ...
ID 108352
Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией $4 умножить на 10 в степени левая круг...
ID 108353
[рис.] В однородном магнитном поле с индукцией $\vecB$ направленной вертикально вниз, равномерн...