1)  Составим электронный баланс:

$\ChemForm3 | Mn в степени ( + 4 ) - 2e \to Mn в степени ( + 6 )$
$\ChemForm1 | Cl в степени ( + 5 ) + 6e \to Cl в степени ( - 1 )$

2)   $\ChemFormMn в степени ( + 4 ) ( MnO_2 )$   — восстановитель, $\ChemFormCl в степени ( + 5 ) ( NaClO_3 )$   — окислитель.

3)  Определим недостающие вещества и расставим коэффициенты в уравнении реакции:

$\ChemFormNaClO_3 + 3MnO_2 + 6NaOH \to 3Na_2MnO_4 + NaCl + 3H_2O$