Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х. При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчете сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Е = Г + Д = 3.
Ж = В = 3. (Е и Г не учитываем, поскольку в этих вершинах не проходим через В).
К = Ж = 3.
Н = Ж = 3.
М = Ж + Н = 6.
Л = К + Ж + М = 12.
П = К + Л + М = 21.

Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город П, проходящих через город В.

Приведем другое решение.
Заметим, что путь из города А в город П обязательно должен проходить через город Ж. По условию задачи путь должен также проходить через город В. Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город В, = произведению количества путей из города А в город В, количества путей из города В в город Ж и количества путей из города Ж в город П.
Найдем количество путей из города А в город В:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Из города В в город Ж есть только один путь.
Найдем количество путей из города Ж в город П (при этом Ж - исходный пункт):
Ж = 1.
К = Ж = 1.
Н = Ж = 1.
М = Ж + Н = 2.
Л = К + Ж + М = 4.
П = К + Л + М = 7.
Тогда количество путей из города А в город П, проходящих через город В, = 3 · 1 · 7 = 21.

Ответ: 21.