Запишем каждую букву и соответствующую ей цифру: А  — 0, В  — 1, Е  — 2, И  — 3, К  — 4, Н  — 5, О  — 6, Р  — 7. Продолжим список кодов, пока не встретим код, не содержащий цифры 0. Будем учитывать, что в коде должна встречаться ровно одна цифра 1. Получим:
1  — 001
2  — 010
3  — 012
4  — 013
5  — 014
6  — 015
7  — 016
8  — 017
9  — 021
10  — 031
11  — 041
12  — 051
13  — 061
14  — 071
15  — 100
16  — 102
17  — 103
18  — 104
19  — 105
20  — 106
21  — 107
22  — 120
23  — 122
Таким образом, первый код, не содержащий ни одной буквы А, будет записан под номером 23.

Ответ: 23.

Приведём другое решение на языке Python.

a = {0: "А", 1: "В", 2: "Е", 3: "И", 4: "К", 5: "Н", 6: "О", 7: "Р"}
k = 0
for i in range(0, len(a)):
for j in range(0, len(a)):
for g in range(0, len(a)):
s = a[i] + a[j] + a[g]
if s.count('В') == 1:
k += 1
if s.count('А') == 0:
print(k) # Возьмём первое число, которое выдаст программа
break

Приведём решение Бориса Савельева на языке Python.

from itertools import product
s = product('АВЕ*****', repeat = 3)
cnt = 0
for i in s :
p = ''.join(i)
if p.count('В') == 1:
cnt += 1
if p.count('В') == 1 and p.count('А') == 0:
print(cnt)
break

Приведём решение Степоненкова Дмитрия на языке Python.

from itertools import*
k=0
for i in product('авеикнор',repeat=3):
if i.count('в')==1:
k+=1
if i.count('а')==0 and i.count('в')==1:
print(k)
break

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

from itertools import product
a=sorted([''.join(p) for p in product('ВЕРОНИКА', repeat=3) if p.count('В')==1])
print(min([i+1 for i in range(len(a)) if not 'А' in a[i]]))

Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.

begin
('ВЕРОНИКА'.CartesianPower(3) // Все 3-буквенные перестановки
.Select(p -> p.JoinToString())
.Where(s -> s.CountOf('В') = 1) // Буква В ровно один раз
.Sorted // Алфавитный порядок
.ToArray
.FindIndex(s -> not s.Contains('А'))+1)
.Print;//23
end.

Приведём решение Сергея Донец на PascalABC.NET:

begin
'В, Е, Р, О, Н, И, К, А, '.Remove(', ')
.Cartesian(3)
.Where(t-> t.CountOf('В') = 1)
.Order.Numerate
.First(\(n,c)-> not c.Contains('А'))
.item1
.Print;
end.