Если число делится на 44, то оно делится на 4 и на 11. Число делится на 4 и две последние цифры должны отличаться на 1, поэтому число должно заканчиваться на 12, или 32, или 56, или 76.
Пусть число имеет вид $\overlineabcd$ Число делится на 11, если модуль разности сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местах, делится на 11. В данном случае  — если $| ( a + c ) - ( b + d ) |$ делится 11.
Но модуль $|a - b|$ равен 1, модуль $|c - d|$ равен 1, а значит, $| ( a + c ) - ( b + d ) |$ принимает значения 0, или 1, или 2. Из них делится на 11 только число 0. Следовательно, $a + c = b + d$ Необходимо подобрать такие комбинации цифр, чтобы сумма цифр чётных разрядов была равна сумме цифр нечётных разрядов, и при этом эти цифры не должны отличаться друг от друга более чем на 1.
Такими числами являются 1012, 3432, 5456, 3212, 1232, 5676, 7876, 7656.

Ответ: 1012, или 3432, или 5456, или 3212, или 1232, или 5676, или 7876, или 7656.

Примечание.
Условие «любые две соседние цифры отличаются на 1» означает, что каждые две соседние цифры должны отличаться на 1, поэтому числа 4356, 3476, 4576 не подходят, поскольку вторая и третья цифры в них различаются более чем на 1.