Приведём верное написание.
Сквайр Трелони, доктор Ливси и другие джентльмены попросили меня написать все, что я знаю об «Острове сокровищ». Им хочется, чтобы я рассказал историю с начала до конца.
«Всю» и «с начала до конца» - одно и то же. Это плеоназм.
Поскольку исключить нужно слово, а не словосочетание, то ответом будет являться только слово «всю».
Ответ: всю.