📐 Математика. Профильный уровень

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна  $a + 3$ Следовательно, $S = a \cdot ( a + 3 ) = 18$ откуда $a ^2 + 3a - 18 = 0$ Решая квадратное уравнение, находим $a = 3$ Таким образом, большая сторона равна 6.

Ответ: 6.

Цена чайника после повышения стала составлять 116% от начальной цены. Разделим 3480 на 1,16:

$\frac{3480}{1,16} =3000$

Значит, цена чайника до повышения составляла 3000 рублей.

Ответ: 3000.

Площадь поверхности заданного многогранника складывается из четырех площадей квадратов со стороной 1, двух прямоугольников со сторонами 1 и 2 и двух граней (передней и задней), площади которых, в свою очередь, складываются из трех единичных квадратов каждая. Всего 4 + 4 + 6  =  14.

Ответ: 14.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому

$S= $\frac{2 + 4}{2}$ \cdot 3=9$

Ответ: 9.

Пусть радиус окружности равен R. Тогда сторона описанного вокруг нее квадрата равна 2R, а его площадь, равная квадрату стороны, равна 4R2. Диагональ вписанного квадрата также равна 2R, поэтому его площадь, равная половине произведения диагоналей, равна 2R2. Следовательно, отношение площади описанного квадрата к площади вписанного = 2.

Ответ: 2.

По определению

$\cos A= $\frac{CA}{AB}$ = \sin B$

\sin ы смежных углов равны:

$\sin A_внеш= \sin A= \frac{7}{25}$

Поэтому

$\sin B= \cos A= $\sqrt{аргумента: 1 - \sin в степени ( 2}$ аргумента A ) = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{49}{625}$} аргумента = $\frac{24}{25}$ =0,96$

Ответ: 0,96.

Выполним преобразования:

$5 \sin ^2 альфа + 13 \cos ^2 альфа =6 = сильно 5 \sin ^2 альфа + 13 \cos ^2 альфа =6 ( \sin ^2 альфа + \cos ^2 альфа ) = сильно$
$ = сильно - \sin ^2 альфа = - 7 \cos ^2 альфа = сильно $\frac{\sin ^2 альфа}{\cos ^2 альфа}$ =7 = сильно \text{tg} ^2 альфа =7$

Ответ: 7.

Приведем решение Елены Глотовой.
Выполним преобразования:

$5 \sin ^2 альфа + 13 \cos ^2 альфа =6 = сильно 5 ( \sin ^2 альфа + \cos ^2 альфа ) + 8 \cos ^2 альфа =6 = сильно 8 \cos ^2 альфа =1 = сильно $\frac{1}{\cos ^2 альфа}$ =8$ $5 \sin ^2 альфа + 13 \cos ^2 альфа =6 = сильно 5 ( \sin ^2 альфа + \cos ^2 альфа ) + 8 \cos ^2 альфа =6 = сильно$
$ = сильно 8 \cos ^2 альфа =1 = сильно $\frac{1}{\cos ^2 альфа}$ =8$ $5 \sin ^2 альфа + 13 \cos ^2 альфа =6 = сильно$
$ = сильно 5 ( \sin ^2 альфа + \cos ^2 альфа ) + 8 \cos ^2 альфа =6 = сильно$
$ = сильно 8 \cos ^2 альфа =1 = сильно $\frac{1}{\cos ^2 альфа}$ =8$

Воспользуемся формулой $1 + \text{tg} ^2 альфа = $\frac{1}{\cos ^2 альфа}$ :$

$1 + \text{tg} ^2 альфа =8 = сильно \text{tg} ^2 альфа =7$

а)  

$\log _4 ( 4 \sin ^2 2x ) =2 - \log _2 ( - 2 \text{tg} x ) = сильно \log _2|2 \sin 2x|=2 - \log _2 ( - 2 \text{tg} x ) = сильно$

$ = сильно 1 + \log _2| \sin 2x|=2 - 1 - \log _2 ( - \text{tg} x ) = сильно \log _2| \sin 2x| + \log _2 ( - \text{tg} x ) =0 = сильно$ $ = сильно 1 + \log _2| \sin 2x|=2 - 1 - \log _2 ( - \text{tg} x ) = сильно$
$ = сильно \log _2| \sin 2x| + \log _2 ( - \text{tg} x ) =0 = сильно$

$ = сильно \log _2 ( - 2| \sin x \cdot \cos x| \cdot $\frac{\sin x}{\cos x}$ ) =0 = сильно $$\begin{cases} 2 \sin ^2 x=1 \\[6pt] \sin x \cdot \cos x меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin x=\pm \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \\[6pt] \sin x \cdot \cos x меньше 0. \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} x=\pm $\frac{\pi}{4}$ + \pi n \\[6pt] n принадлежит Z \\[6pt] \sin x \cdot \cos x меньше 0. \end{cases}$$ = сильно$ $ = сильно \log _2 ( - 2| \sin x \cdot \cos x| \cdot $\frac{\sin x}{\cos x}$ ) =0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2 \sin ^2 x=1 \\[6pt] \sin x \cdot \cos x меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin x=\pm \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \\[6pt] \sin x \cdot \cos x меньше 0. \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x=\pm $\frac{\pi}{4}$ + \pi n \\[6pt] n принадлежит Z \\[6pt] \sin x \cdot \cos x меньше 0. \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно x= - $\frac{\pi}{4}$ + \pi n,n принадлежит Z$

б)   Выборка корней. Ясно, что искомое значение единственное: $ - \frac{\pi}{4}$

Ответ: a) $ - $\frac{\pi}{4}$ + \pi n,n принадлежит Z$ б) $ - \frac{\pi}{4}$

Задача сводится к решению неравенства $q v B \sin альфа больше или = 2 \cdot 10 в степени ( - 8 )$ на интервале $альфа принадлежит [ 0 ^{\circ} ;180 ^{\circ} ]$ при заданных значениях заряда шарика $q=2 \cdot 10 в степени ( - 6 )$ Кл, индукции магнитного поля $B=4 \cdot 10 в степени ( - 3 ) }$ Тл и скорости $v =5$ м/с:

$2 \cdot 10 в степени ( - 6 ) \cdot 5 \cdot 4 \cdot 10 в степени ( - 3 ) \sin альфа больше или = 2 \cdot 10 в степени ( - 8 ) = сильно \sin альфа больше или = $\frac{1}{2}$ = сильно$

$ = сильно 30 в степени ( \circ ) + 360 в степени ( \circ ) n меньше или = альфа меньше или = 150 в степени ( \circ ) + 360 в степени ( \circ ) n\underset0 ^{\circ} меньше альфа меньше 180 ^{\circ} \mathop = сильно 30 ^{\circ} меньше или = альфа меньше или = 150 ^{\circ}$

Значит, наименьшее значение угла = 30°.

Ответ: 30.

[рис.] Для начала построим сечение PQR: проведем прямую QP до пересечения с прямой AC в точке E. В плоскости грани ADC соединим точки E и R: прямая ER пересечет сторону AD в точке S. Соединяя точки S, R, P и Q, получаем искомое сечение.
Предварительно найдем соотношения и длины некоторых сторон.
Рассмотрим плоскость ABC. В треугольнике BQP вычислим длину стороны QP по теореме \cos ов:

$QP = $\sqrt{аргумента: BQ ^2 + BP ^2 - 2 \cdot BQ \cdot BP \cdot \cos \angle QBP}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{4}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{7}{36}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{6}$ $QP = $\sqrt{аргумента: BQ ^2 + BP ^2 - 2 \cdot BQ \cdot BP \cdot \cos \angle QBP}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{4}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{7}{36}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{6}$

Теперь найдем угол BPQ:

$\cos альфа = $\frac{QP ^2 + BP ^2 - BQ ^2}{2 \cdot BP \cdot QP}$ = \frac{$\frac{7}{36}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{9}$ ,}{2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{6} \cdot $\frac{1}{2}$} = \frac{2}{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}$

[рис.]
Тогда из основного тригонометрического тождества:

$\sin альфа = $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 альфа}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{4}{7}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{3}{7}$} аргумента$

Заметим, что $\angle BPQ = \angle APE = альфа$ как вертикальные, тогда можем найти угол AEP:

$бета = \pi - \angle PAE - \angle APE = $\frac{\pi}{3}$ - альфа$

Вычислим \sin угла β:

$\sin бета = \sin ( $\frac{\pi}{3}$ - альфа ) = \sin $\frac{\pi}{3}$ \cos альфа - \cos $\frac{\pi}{3}$ \sin альфа = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot \frac{2}{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента} - $\frac{1}{2}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{3}{7}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}$ $\sin бета = \sin ( $\frac{\pi}{3}$ - альфа ) = \sin $\frac{\pi}{3}$ \cos альфа - \cos $\frac{\pi}{3}$ \sin альфа =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot \frac{2}{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента} - $\frac{1}{2}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{3}{7}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}$

По теореме \sin ов для треугольника APE:

$\frac{AE}{\sin альфа} = $\frac{AP}{\sin бета}$ = сильно AE = \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{3}{7}$} аргумента ,}{\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}} = 1$

Теперь рассмотрим плоскость ADC. Из треугольника CRE по теореме \cos ов имеем:

$RE = $\sqrt{аргумента: CR ^2 + CE ^2 - 2 \cdot CR \cdot CE \cdot \cos \angle C}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + 4 - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot 2 \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{31}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}{3}$ $RE = $\sqrt{аргумента: CR ^2 + CE ^2 - 2 \cdot CR \cdot CE \cdot \cos \angle C}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + 4 - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot 2 \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{31}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}{3}$

Из этого же треугольника найдем угол CER:

$\cos гамма = $\frac{CE ^2 + RE ^2 - CR ^2}{2 \cdot CE \cdot RE}$ = \frac{4 + $\frac{31}{9}$ - $\frac{1}{9}$ ,}{2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}{3} \cdot 2} = \frac{11}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}$

[рис.]
Тогда из основного тригонометрического тождества:

$\sin гамма = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{121}{124}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}$

Найдем \sin угла ASE:

$\sin дельта = \sin ( $\frac{\pi}{3}$ - гамма ) = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot \frac{11}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента} - $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}$

По теореме \sin ов для треугольника ASE:

$\frac{AS}{\sin гамма} = $\frac{AE}{\sin дельта}$ = сильно AS = \frac{\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента} ,}{\frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}} = $\frac{1}{5}$ . \qquad ( * )$

[рис.]
Для дальнейшего решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: $\overrightarrowBC = \veci$ $\overrightarrowBA = \vecj$ $\overrightarrowBD = \veck$ Выразим векторы $\overrightarrowSQ$ и $\overrightarrowSP$ через базисные:

$\overrightarrowSP = \overrightarrowSA - \overrightarrowPA$
$\overrightarrowPA = $\frac{1}{2}$ \vecj$
$\overrightarrowSA = $\frac{1}{5}$ \overrightarrowDA = $\frac{1}{5}$ ( \vecj - \veck )$

откуда

$\overrightarrowSP = $\frac{1}{5}$ ( \vecj - \veck ) - $\frac{1}{2}$ \vecj = - ( $\frac{3}{10}$ \vecj + $\frac{1}{5}$ \veck )$
$\overrightarrowSQ = \overrightarrowSP + \overrightarrowPQ$
$\overrightarrowPQ = $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{1}{2}$ \vecj$
$\overrightarrowSQ = - ( $\frac{3}{10}$ \vecj + $\frac{1}{5}$ \veck ) + $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{1}{2}$ \vecj = $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck$

Заметим, что $|\veca| = $\sqrt{аргумента: \veca}$ аргумента ^2$ и $\veci \vecj = \veci \veck = \vecj \veck = 1 \cdot 1 \cdot \cos $\frac{\pi}{3}$ = \frac{1}{2}$ Найдем длины этих векторов:

$|\overrightarrowSP| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{3}{10}$ \vecj} аргумента + $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 = \sqrt{аргумента: $\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{25}$ + 2 \cdot $\frac{3}{10}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{13}{100}$ + $\frac{3}{50}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{10}$ $|\overrightarrowSP| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{3}{10}$ \vecj} аргумента + $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{25}$ + 2 \cdot $\frac{3}{10}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{13}{100}$ + $\frac{3}{50}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{10}$ $|\overrightarrowSP| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{3}{10}$ \vecj} аргумента + $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{25}$ + 2 \cdot $\frac{3}{10}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{13}{100}$ + $\frac{3}{50}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{10}$

$|\overrightarrowSQ| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{1}{3}$ \veci} аргумента - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{16}{25}$ + $\frac{1}{25}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + 2 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{17}{25}$ - $\frac{4}{15}$ - $\frac{1}{15}$ + $\frac{4}{25}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{21}{25}$ - $\frac{2}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 139}$ аргумента}{15}$ $|\overrightarrowSQ| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{1}{3}$ \veci} аргумента - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{16}{25}$ + $\frac{1}{25}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + 2 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{17}{25}$ - $\frac{4}{15}$ - $\frac{1}{15}$ + $\frac{4}{25}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{21}{25}$ - $\frac{2}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 139}$ аргумента}{15}$ $|\overrightarrowSQ| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{1}{3}$ \veci} аргумента - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{16}{25}$ + $\frac{1}{25}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + 2 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{17}{25}$ - $\frac{4}{15}$ - $\frac{1}{15}$ + $\frac{4}{25}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{21}{25}$ - $\frac{2}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 139}$ аргумента}{15}$

Осталось вычислить скалярное произведение данных векторов:

$\overrightarrowSP \cdot \overrightarrowSQ = - ( $\frac{3}{10}$ \vecj + $\frac{1}{5}$ \veck ) \cdot ( $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) =$
$= - $\frac{1}{10}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{6}{25}$ + $\frac{3}{50}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{15}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{4}{25}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{17}{50}$ - $\frac{1}{30}$ = \frac{46}{150}$ $\overrightarrowSP \cdot \overrightarrowSQ = - ( $\frac{3}{10}$ \vecj + $\frac{1}{5}$ \veck ) \cdot ( $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) =$
$= - $\frac{1}{10}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{6}{25}$ + $\frac{3}{50}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{15}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{4}{25}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{25}$ =$
$= $\frac{17}{50}$ - $\frac{1}{30}$ = \frac{46}{150}$

Окончательно получаем:

$\cos \widehatSP; SQ = $\frac{\overrightarrowSP \cdot \overrightarrowSQ}{|\overrightarrowSP| \cdot | \overrightarrowSQ|}$ = \frac{$\frac{46}{150}$ ,}{\frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{10} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 139}$ аргумента}{15}} = \frac{46}{$\sqrt{аргумента: 2641}$ аргумента}$

откуда $\widehatSP; SQ = \arccos \frac{46}{$\sqrt{аргумента: 2641}$ аргумента}$

Ответ: $\arccos \frac{46}{$\sqrt{аргумента: 2641}$ аргумента}$

[рис.]
Примечание Дмитрия Гущина.
Эту часть решения можно несколько сократить, применив теорему Менелая для тетраэдра: точки S, R, P и Q, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда

$\frac{AS}{SD} \cdot $\frac{DR}{RC}$ \cdot $\frac{CQ}{QB}$ \cdot $\frac{BP}{PA}$ = 1$

В нашем случае:

$\frac{AS}{SD} \cdot $\frac{2}{1}$ \cdot $\frac{2}{1}$ \cdot $\frac{1}{1}$ = 1 = сильно $\frac{AS}{SD}$ = $\frac{1}{4}$ = сильно AS = \frac{1}{5}$

Рассмотрим уравнение $x ^2 + ( 2 - $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента ) x - 2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента = 0$ По теореме, обратной теореме Виета, сумма его корней равна $ - 2 + $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$ а их произведение = $ - 2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$ Поэтому это числа $ - 2$ и $\sqrt{аргумента: 15} аргумента$ Тогда для первого неравенства системы имеем:

$x ^2 + ( 2 - $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента ) x - 2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента меньше или = 0 = сильно - 2 меньше или = x меньше или = $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$

Для решения второго неравенства используем следующие теоремы о знаках: при положительных a выражения $( a в степени b - a в степени c )$ и $( a - 1 ) ( b - c )$ имеют одинаковые знаки; для любых для $a, b$ выражения $|a| - |b|$ и $a ^2 - b ^2$ имеют одинаковые знаки.

Тогда имеем:

$\frac{0,2 в степени ( |x ^2 - 4x + 2| ) - 0,2 ^2}{3 - x} меньше или = 0 = сильно $\frac{|x ^2 - 4x + 2| - 2}{3 - x}$ больше или = 0 = сильно $\frac{( x ^2 - 4x + 2 ) ^2 - 4}{3 - x}$ больше или = 0 = сильно$ $\frac{0,2 в степени ( |x ^2 - 4x + 2| ) - 0,2 ^2}{3 - x} меньше или = 0 = сильно $\frac{|x ^2 - 4x + 2| - 2}{3 - x}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( x ^2 - 4x + 2 ) ^2 - 4}{3 - x}$ больше или = 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{( x ^2 - 4x ) ( x ^2 - 4x + 4 )}{3 - x}$ больше или = 0 = сильно $\frac{x ( x - 4 ) ( x - 2 ) ^2}{3 - x}$ больше или = 0$

Методом интервалов найдем решения: $x меньше или = 0, 3 меньше x меньше или = 4$ или $x=2$

Поскольку $\sqrt{аргумента: 15} аргумента меньше 4$ получаем решение системы.

Ответ: $[ - 2,0 ] \cup \{ 2 \} \cup ( 3, $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента ]$

Найдем ограничения на x:

$$$\begin{cases} новая строка x + 1 \\[6pt] 5 больше 0 \\[6pt] новая строка x + 1 \\[6pt] 5 не = 1 \\[6pt] новая строка 3 \\[6pt] 5 - x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше - 1 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x не = - 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x меньше 3 \\[6pt] 5 . \end{cases}$$$

В дальнейшем неравенство будем рассматривать исключительно на множестве $M= ( - 1,5; - 0,5 ) \cup ( - 0,5;3,5 )$

$\log _3 ( x + 1,5 ) - \log _ $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( 3,5 - x ) + \log _ ( x + 1,5 ) 3 \cdot \log_{левая} круглая скобка 2 ) ^2 ( 3,5 - x ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \log _3 ( x + 1,5 ) - 2\log _2 ( 3,5 - x ) + \frac{\log_{левая} круглая скобка 2 ) ^2 ( 3,5 - x )}{\log _3 ( x + 1,5 )} меньше или = 0$

Введем новые переменные. Пусть $\log _3 ( x + 1,5 ) =u,\log _2 ( 3,5 - x ) = v$ Тогда:

$u - 2 v + $\frac{v ^2}{u}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{u ^2 - 2u v + v ^2}{u}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{( u - v ) ^2}{u}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка u= v , новая строка u меньше 0 . \end{array} \right.$

Переходим к переменной x.
1)   $\log _3 ( x + 1,5 ) =\log _2 ( 3,5 - x )$ Заметим, что: это уравнение обращается в истинное высказывание при x  =  1,5; функция $f ( x ) =\log _3 ( x + 1,5 )$   — возрастающая в области определения; функция же $g ( x ) =\log _2 ( 3,5 - x )$   — убывающая в своей области определения; при x  =  1,5 обе эти функции определены.
Из сказанного вывод: в соответствии с теоремой о корне, уравнение $\log _3 ( x + 1,5 ) =\log _2 ( 3,5 - x )$ не может иметь других корней, кроме корня 1,5 . Итак, 1,5  — часть решений исходного неравенства.
2)  Решим неравенство

$\log _3 ( x + 1,5 ) меньше 0 = сильно x + 1,5 меньше 1 = сильно x меньше - 0,5$

Таким образом, решения заданного неравенства: $( - 1,5; - 0,5 ) \cup \{ 1,5 \}$

Ответ: $( - 1,5; - 0,5 ) \cup \{ 1,5 \}$

##
$\frac{3 в степени ( x ) - 9}{10 \cdot 3 в степени ( x + 1 ) - 3 в степени ( 4 ) - 3 в степени ( 2x )} меньше 0 = сильно $\frac{3 в степени ( x ) - 9}{3 в степени ( 2x ) - 30 \cdot 3 в степени ( x ) + 81}$ больше 0$

Решим уравнение $3 в степени ( 2x ) - 30 \cdot 3 в степени ( x ) + 81=0$ относительно $3 в степени ( x ) :$

$3 в степени ( 2x ) - 30 \cdot 3 в степени ( x ) + 81=0 = сильно 3 в степени ( x ) =15\pm $\sqrt{аргумента: 225 - 81}$ аргумента =15\pm $\sqrt{аргумента: 144}$ аргумента =15\pm 12$

Далее:

$\frac{3 в степени ( x ) - 9}{( 3 в степени ( x ) - 3 ) \cdot ( 3 в степени ( x ) - 27 )} больше 0 = сильно $\frac{x - 2}{( x - 1 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше 0$

Решения последнего неравенства получим методом интервалов.

[рис.]

Итак, решением первого неравенства является множество $( 1;2 ) \cup ( 3; + бесконечность )$
Решим второе неравенство:

$( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) в степени ( 2x ) - ( \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )}аргумента ^3 + \sqrt{аргумента: $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}аргумента ) \cdot ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) в степени ( x ) + ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 меньше или = 0$ $( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) в степени ( 2x ) - ( \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )}аргумента ^3 + \sqrt{аргумента: $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}аргумента ) \cdot ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) в степени ( x ) + $
$ + ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 меньше или = 0$ $( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) в степени ( 2x ) - $
$ - ( \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )}аргумента ^3 + \sqrt{аргумента: $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}аргумента ) \cdot ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) в степени ( x ) + $
$ + ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 меньше или = 0$

Заметим, что

$5 + 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента =3 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2= ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 , ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) больше 1$

Обозначим $\sqrt{аргумента: $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}аргумента =t$ Тогда при $t больше 1:$

$t в степени ( 4x ) - ( t ^3 + t ) \cdot t в степени ( 2x ) + t в степени ( 4 ) меньше или = 0 = сильно t в степени ( 4x ) - ( t ^3 + t ) \cdot t в степени ( 2x ) + t ^3 \cdot t меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно t меньше или = t в степени ( 2x ) меньше или = t ^3 = сильно 1 меньше или = 2x меньше или = 3 = сильно $\frac{1}{2}$ меньше или = x меньше или = \frac{3}{2}$ $t в степени ( 4x ) - ( t ^3 + t ) \cdot t в степени ( 2x ) + t в степени ( 4 ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно t в степени ( 4x ) - ( t ^3 + t ) \cdot t в степени ( 2x ) + t ^3 \cdot t меньше или = 0 = сильно t меньше или = t в степени ( 2x ) меньше или = t ^3 = сильно$
$ = сильно 1 меньше или = 2x меньше или = 3 = сильно $\frac{1}{2}$ меньше или = x меньше или = \frac{3}{2}$

Решением второго неравенства является множество $[ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{3}{2}$ ]$
Решением исходной системы будет промежуток $( 1; $\frac{3}{2}$ ]$

Ответ: $( 1; $\frac{3}{2}$ ]$

Замечание.
Неравенство $\frac{3 в степени ( x ) - 9}{( 3 в степени ( x ) - 3 ) \cdot ( 3 в степени ( x ) - 27 )} больше 0$ на $R$ = сильно неравенству $\frac{x - 2}{( x - 1 ) \cdot ( x - 3 )} больше 0$ поскольку их множества решений совпадают на $R$

[рис.] Пусть O1 и O2  — центры описанных окружностей треугольников DAB и BCD соответственно, O  — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Поскольку треугольники DAB и BCD равны, то радиусы окружностей также равны. По условию ∠BAD  =  α. Пусть $альфа \leqslant90 ^{\circ}$ По теореме \cos ов $BD= $\sqrt{аргумента: a ^2 + b ^2 - 2ab \cos альфа}$ аргумента$ Заметим, что так как O1 и O2  — центры описанных окружностей, то прямая O1O2  — серединный перпендикуляр к диагонали BD и является биссектрисой центрального угла BO1D = го 2α. Cледовательно, $\angle BO_1O_2 = $\frac{1}{2}$ \angle BO_1D = \angle BAD = альфа$ поэтому

$O_1O_2 = 2O_1O = 2 \cdot BO \cdot \ctg \angle BO_1O=2 \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot BD \cdot \ctg \angle BO_1O= BD \cdot \ctg альфа =$ $O_1O_2 = 2O_1O = 2 \cdot BO \cdot \ctg \angle BO_1O=$
$=2 \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot BD \cdot \ctg \angle BO_1O= BD \cdot \ctg альфа =$
$= $\sqrt{аргумента: a ^2 + b ^2 - 2ab \cos альфа}$ аргумента \cdot \ctg альфа$

Если же α ≥ 90°, то аналогично получим, что

$O_1O_2 = $\sqrt{аргумента: a ^2 + b ^2 - 2ab \cos альфа}$ аргумента \cdot \ctg ( 180 ^{\circ} - альфа ) = - $\sqrt{аргумента: a ^2 + b ^2 - 2ab \cos альфа}$ аргумента \cdot \ctg альфа$ $O_1O_2 = $\sqrt{аргумента: a ^2 + b ^2 - 2ab \cos альфа}$ аргумента \cdot \ctg ( 180 ^{\circ} - альфа ) =$
$= - $\sqrt{аргумента: a ^2 + b ^2 - 2ab \cos альфа}$ аргумента \cdot \ctg альфа$

Ответ: $\sqrt{аргумента: a ^2 + b ^2 - 2ab \cos альфа} аргумента \cdot |\ctg альфа |$

Преобразуем неравенство:

$\frac{4 в степени ( x - 0,5 ) + 1}{9 \cdot 4 в степени x - 16 в степени ( x + 0,5 ) - 2} меньше или = 0,5 = сильно \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot 4 в степени x + 1,}{9 \cdot 4 в степени x - 4 \cdot 4 в степени ( 2x ) - 2} меньше или = $\frac{1}{2}$ = сильно $\frac{4 в степени x + 2}{9 \cdot 4 в степени x - 4 \cdot 4 в степени ( 2x ) - 2}$ меньше или = 1$ $\frac{4 в степени ( x - 0,5 ) + 1}{9 \cdot 4 в степени x - 16 в степени ( x + 0,5 ) - 2} меньше или = 0,5 = сильно$
$ = сильно \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot 4 в степени x + 1,}{9 \cdot 4 в степени x - 4 \cdot 4 в степени ( 2x ) - 2} меньше или = $\frac{1}{2}$ = сильно $\frac{4 в степени x + 2}{9 \cdot 4 в степени x - 4 \cdot 4 в степени ( 2x ) - 2}$ меньше или = 1$

Произведем замену  — пусть $t = 4 в степени x$ тогда

$\frac{t + 2}{9t - 4t ^2 - 2} \leqslant1 = сильно $\frac{t + 2 - 9t + 4t ^2 + 2}{9t - 4t ^2 - 2}$ \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $\frac{4 \cdot ( t ^2 - 2t + 1 )}{ - 4t ^2 + 9t - 2}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{( t - 1 ) ^2}{ - 4t ^2 + 9t - 2}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t меньше $\frac{1}{4}$ ,t больше 2,t = 1. \end{array} \right.$ $\frac{t + 2}{9t - 4t ^2 - 2} \leqslant1 = сильно $\frac{t + 2 - 9t + 4t ^2 + 2}{9t - 4t ^2 - 2}$ \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $\frac{4 \cdot ( t ^2 - 2t + 1 )}{ - 4t ^2 + 9t - 2}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( t - 1 ) ^2}{ - 4t ^2 + 9t - 2}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t меньше $\frac{1}{4}$ ,t больше 2,t = 1. \end{array} \right.$

Вернемся к исходной переменной. Имеем:

$\left[ \begin{array}{l} 4 в степени x меньше $\frac{1}{4}$ ,4 в степени x больше 2,4 в степени x = 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше - 1,x больше $\frac{1}{2}$ ,x = 0. \end{array} \right.$

Ответ: $( - бесконечность ; - 1 ) \cup \{ 0 \} \cup ( 0,5; + бесконечность )$

Пусть S  — сумма, на которую планируется взять кредит. Тогда общая сумма всех выплат по кредиту равна 1,6S. Так как долг ежемесячно уменьшается сначала на x, затем на 2x, а затем 3x, составим график погашения кредита:

Месяц | Выплата | Остаток долга

Февраль | $x + S \cdot \frac{r}{100}$ | $S - x$

Март | $x + ( S - x ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 2x$

Апрель | $x + ( S - 2x ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 3x$

Май | $2x + ( S - 3x ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 5x$

Июнь | $2x + ( S - 5x ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 7x$

Июль | $2x + ( S - 7x ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 9x$

Август | $3x + ( S - 9x ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 12x$

Сентябрь | $3x + ( S - 12x ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 15x$

Октябрь | $3x + ( S - 15x ) \cdot \frac{r}{100}$ | $S - 18x$

Таким образом, сумма всех выплат равна

$x + S \cdot $\frac{r}{100}$ + x + ( S - x ) \cdot $\frac{r}{100}$ + x + ( S - 2x ) \cdot $\frac{r}{100}$ + 2x + ( S - 3x ) \cdot $\frac{r}{100}$ + 2x + ( S - 5x ) \cdot $\frac{r}{100}$ + 2x + ( S - 7x ) \cdot $\frac{r}{100}$ + 3x + ( S - 9x ) \cdot $\frac{r}{100}$ + 3x + ( S - 12x ) \cdot $\frac{r}{100}$ + 3x + ( S - 15x ) \cdot $\frac{r}{100}$ =$
$= 18x + $\frac{r}{100}$ ( S + S - x + S - 2x + S - 3x + S - 5x + S - 7x + S - 9x + S - 12x + S - 15x ) =$
$= 18x + $\frac{r}{100}$ \cdot ( 9S - 54x )$

Перед последней выплатой остаток долга равен $S - 18x$ а значит, $S = 18x$ Сумма всех выплат равна 1,6S, откуда находим:

$18x + $\frac{r}{100}$ ( 9 \cdot 18x - 54x ) = 1,6 \cdot 18x = сильно $\frac{r}{100}$ = $\frac{28,8x - 18x}{108x}$ = сильно $\frac{r}{100}$ = $\frac{10,8}{108}$ = сильно r = 10$

Ответ: 10.

[рис.] Ясно, что $y больше или = x$ иначе первое уравнение выполняться не может. Разберем два варианта.

1.  Выражение $x + y$ неотрицательно. Тогда $x ^2 - y ^2 = ( x - y ) ( x + y )$ неположительно. Первое уравнение дает

$( y - x ) ( y + x ) =2 ( y - x ) = сильно ( y - x ) ( y + x - 2 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} y=x,y=2 - x. \end{array} \right.$

2.  Выражение $x + y$ отрицательно. Тогда $x ^2 - y ^2 = ( x - y ) ( x + y )$ неотрицательно. Первое уравнение дает

$( x - y ) ( y + x ) =2 ( y - x ) = сильно ( y - x ) ( y + x + 2 ) =0 \left[ \begin{array}{l} y=x,y= - 2 - x. \end{array} \right.$

Изобразим соответствующие части прямых на плоскости. Второе уравнение задает прямую, проходящую через точку $( 2; - 1 )$ Ясно, что она может пересекать построенные два луча и прямую один раз только если она не пересекает интервал от $( - 1; - 1 )$ до $( 1; 1 )$ на прямой $x=y$ (тогда будет два пересечения, кроме случая $a= - 1$ который нам подходит) и не параллельна $y=x$ (тогда решений не будет совсем). Она проходит через концы интервала при $a=0$ и $a= - 2$ соответственно. Это позволяет написать ответ.

Ответ: $( - бесконечность ; - 2 ] \cup \{ - 1 \} \cup [ 0; 1 ) \cup ( 1; + бесконечность )$

Пусть $a в степени x =t$ $4 в степени x = b$ тогда $t, b больше 0$ и

$3t ^2 - b ^2 + 2bt больше или = 0 = сильно b ^2 - 2bt - 3t ^2 меньше или = 0 = сильно ( b - 3t ) ( b + t ) меньше или = 0 \undersetb больше 0, t больше 0\mathop = сильно b - 3t меньше или = 0 = сильно b меньше или = 3t$ $3t ^2 - b ^2 + 2bt больше или = 0 = сильно b ^2 - 2bt - 3t ^2 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( b - 3t ) ( b + t ) меньше или = 0 \undersetb больше 0, t больше 0\mathop = сильно b - 3t меньше или = 0 = сильно b меньше или = 3t$ $3t ^2 - b ^2 + 2bt больше или = 0 = сильно b ^2 - 2bt - 3t ^2 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( b - 3t ) ( b + t ) меньше или = 0 \undersetb больше 0, t больше 0\mathop = сильно$
$\undersetb больше 0, t больше 0\mathop = сильно b - 3t меньше или = 0 = сильно b меньше или = 3t$

Вернёмся к исходной переменной:

$4 в степени x меньше или = 3a в степени x = сильно ( $\frac{4}{a}$ ) в степени x меньше или = 3$

Функция $f ( x ) = ( $\frac{4}{a}$ ) в степени x$ монотонна на множестве действительных чисел при любом положительном значении a (при $0 меньше a меньше 4$ возрастает, при $a больше 4$ убывает, при $a=4$ постоянна). Значит, любое число из отрезка [−1; 1] будет являться решением неравенства $f ( x ) меньше или = 3$ тогда и только тогда, когда одновременно $f ( 1 ) меньше или = 3$ и $f ( - 1 ) меньше или = 3$ откуда получаем:

$$$\begin{cases} ( $\frac{4}{a}$ ) в степени 1 меньше или = 3 \\[6pt] ( $\frac{4}{a}$ ) в степени ( - 1 ) меньше или = 3 \end{cases}$$ . \underseta больше 0\mathop = сильно $$\begin{cases} a больше или = $\frac{4}{3}$ \\[6pt] a меньше или = 12 \end{cases}$$ . = сильно $\frac{4}{3}$ меньше или = a меньше или = 12$

Ответ: $[ $\frac{4}{3}$ ; 12 ]$

Заметим, что во всех числах будет ровно по $2 \cdot 81 = 162$ цифры, поэтому сравнивать их нужно будет поразрядно  — то, какое число больше, полностью определяется тем, какая цифра больше в первом различающемся разряде.
Рассмотрим граф, вершины которого  — числа от 1 до 9, и каждые две вершины соединены двумя ориентированными ребрами, соответствующими числам с такими цифрами. Кроме того, каждая вершина соединена петлей сама с собой  — эти петли соответствуют числам с одинаковыми цифрами. Из каждой вершины исходит 8 стрелочек и входит тоже 8 стрелочек (не считая петли). В таком графе есть путь, проходящий по всем стрелочкам ровно по одному разу, то есть такое число действительно существует. Это верно и для любого другого связного графа, в котором для всех вершин поровну входящих и исходящих стрелочек.
а)  Для наименьшего числа нужно каждый раз выбирать наименьшее из возможных чисел. Тогда начало будет выглядеть так $11, 12, 21, 13, 31, \ldots 19, \ldots$ причем сейчас нельзя выбрать число 91: все числа, начинающиеся на 1, уже использованы, поэтому семнадцатым будет выписано число 92.
б)  Для наибольшего числа наоборот нужно каждый раз выбирать наибольшее из возможных чисел. Поэтому число будет выглядеть так:

$99, 98, 89, 97, 79, \ldots, 91, 18, 88, 87, 78, 86, 68, \ldots 81, 17, 77, \ldots$

Отсюда понятна закономерность  — число разбивается на блоки, в каждом из которых используются все числа с вхождением сначала девятки, потом восьмерки и так далее. Конец числа будет выглядеть как $33, 32, 23, 31, 12, 22, 21, 11, 19$ Значит, последние 5 цифр это 11 119.
в)  Если в двух числах заменить каждую цифру на ее дополнение до 10, знак неравенства между числами изменится на противоположный: в первом различающемся разряде если были цифры $x меньше y$ то $10 - x больше 10 - y$ Значит, при такой замене самое большое число превратится в самое маленькое. Поэтому их сумма будет равна $111 \ldots 110$ (при сложении в столбик в каждом разряде будет получаться 10 и еще один  — переносом из предыдущего разряда), где единиц ровно 162 штуки.

Ответ: а)  92; б)  11119; в) $111\ldots 110$