При малых колебаниях с амплитудой $A = 5см$ вблизи положения = весия математического маятника модуль силы натяжения нити, на которой подвешен грузик массой $m = 100г$ меняется в пределах от T до $T + \Delta T$ где $\Delta T = 15мН$ и $\Delta T \ll T$ Какова длина l нити маятника? Трение не учитывайте. При решении задачи учтите, что для малых углов $альфа$ справедливо приближенное равенство $\sin альфа \approx альфа$ Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузик.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Изобразим маятник в двух состояниях: максимального отклонения, когда он останавливается, отклонившись от положения = весия на расстояние A, и при прохождении им этого положения = весия (см. рисунок). На грузик маятника массой m действует сила тяжести $m\vecg$ направленная вертикально вниз, и переменная сила $\vecT$ натяжения нити, меняющаяся по модуля от T в положении максимального отклонения, когда вектор $\vecT$ наклонен под малым углом $альфа$ к вертикали, до $T + \Delta T$ в положении = весия, где вектор $\vecT$ вертикален, а грузик движется со скоростью $\vecV$ направленной горизонтально.
Поскольку трения нет, согласно закону сохранения механической энергии потенциальная энергия маятника в крайнем положении, отсчитанная от начального уровня в положении = весия, должна равняться кинетической энергии при прохождении положения = весия: $mgl ( 1 - \cos альфа ) = \frac{mV ^2}{2}$
В положении максимального отклонения суммарная сила $\vecT + m\vecg$ направленная вдоль траектории грузика — окружности с радиусом l, то есть перпендикулярно вектору $\vecT$ а скорость грузика в этот момент равна нулю, $T=mg \cos альфа$
При прохождении положения = весия грузик обладает центростремительным ускорением, и уравнение его движения в проекции на вертикальную ось имеет вид $\frac{mV ^2}{l} =T + \Delta T - mg$
Подставляя сюда полученные выше выражения для $V ^2$ и для T, находим $\Delta T=3mg ( 1 - \cos альфа )$ В силу малости угла $альфа \approx \frac{A}{l}$ откуда имеем $\Delta T=3mg ( 1 - \cos альфа ) = 3mg \cdot 2 \sin ^2 ( $\frac{альфа}{2}$ ) \approx 3mg \cdot $\frac{альфа ^2}{2}$ \approx \frac{3mgA ^2}{2l ^2}$ и, поскольку $mg= $\frac{T}{\cos альфа}$ \approx T$ получаем ответ: $l\approx A \sqrt{аргумента: $\frac{3mg}{2 \Delta T}$} аргумента \approx A \sqrt{аргумента: $\frac{3T}{2 \Delta T}$} аргумента =0,5м$
Ответ: $l\approx A \sqrt{аргумента: $\frac{3mg}{2 \Delta T}$} аргумента \approx A \sqrt{аргумента: $\frac{3T}{2 \Delta T}$} аргумента =0,5м$
Поскольку трения нет, согласно закону сохранения механической энергии потенциальная энергия маятника в крайнем положении, отсчитанная от начального уровня в положении = весия, должна равняться кинетической энергии при прохождении положения = весия: $mgl ( 1 - \cos альфа ) = \frac{mV ^2}{2}$
В положении максимального отклонения суммарная сила $\vecT + m\vecg$ направленная вдоль траектории грузика — окружности с радиусом l, то есть перпендикулярно вектору $\vecT$ а скорость грузика в этот момент равна нулю, $T=mg \cos альфа$
При прохождении положения = весия грузик обладает центростремительным ускорением, и уравнение его движения в проекции на вертикальную ось имеет вид $\frac{mV ^2}{l} =T + \Delta T - mg$
Подставляя сюда полученные выше выражения для $V ^2$ и для T, находим $\Delta T=3mg ( 1 - \cos альфа )$ В силу малости угла $альфа \approx \frac{A}{l}$ откуда имеем $\Delta T=3mg ( 1 - \cos альфа ) = 3mg \cdot 2 \sin ^2 ( $\frac{альфа}{2}$ ) \approx 3mg \cdot $\frac{альфа ^2}{2}$ \approx \frac{3mgA ^2}{2l ^2}$ и, поскольку $mg= $\frac{T}{\cos альфа}$ \approx T$ получаем ответ: $l\approx A \sqrt{аргумента: $\frac{3mg}{2 \Delta T}$} аргумента \approx A \sqrt{аргумента: $\frac{3T}{2 \Delta T}$} аргумента =0,5м$
Ответ: $l\approx A \sqrt{аргумента: $\frac{3mg}{2 \Delta T}$} аргумента \approx A \sqrt{аргумента: $\frac{3T}{2 \Delta T}$} аргумента =0,5м$
Правильный ответ:
$l\approx A корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3mg, знаменатель: 2 \Delta T конец дроби конец аргумента \approx A корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3T, знаменатель: 2 \Delta T конец дроби конец аргумента =0,5м$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 105954 • Задание №13
[рис.] Катушка индуктивности подключена к источнику тока с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением через ...
ID 103853 • Задание №6
Груз массой m, подвешенный к пружине, совершает колебания с периодом T и амплитудой $x_0$ Что произойдет с пер...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае - правильно записаны закон сохранения механической энергии для математического маятника и уравнения его движения, и полученная система уравнений решена точно или приближенно - с учетом малости угла а):
II) описаны все вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением, возможно, обозначений констант, указанных в варианте КИМ, и обозначений, используемых в условии задачи);
III) представлен схематический рисунок с указанием сил, поясняющий решение;
IV) проведены необходимые математические преобразования (допускается вербальное указание на их проведение) и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
V) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны необходимые положения теории и физические законы, закономерности, проведены необходимые преобразования, и представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. Но имеется один из следующих недостатков.
Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II, III, IV, - представлены не в полном объеме или отсутствуют.
ИЛИ
При ПОЛНОМ правильном решении лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.).
ИЛИ
При ПОЛНОМ решении в необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца.
ИЛИ
При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт V, или в нем допущена ошибка.
| 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких- либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае - правильно записаны закон сохранения механической энергии для математического маятника и уравнения его движения, и полученная система уравнений решена точно или приближенно - с учетом малости угла а):
II) описаны все вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением, возможно, обозначений констант, указанных в варианте КИМ, и обозначений, используемых в условии задачи);
III) представлен схематический рисунок с указанием сил, поясняющий решение;
IV) проведены необходимые математические преобразования (допускается вербальное указание на их проведение) и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
V) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны необходимые положения теории и физические законы, закономерности, проведены необходимые преобразования, и представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. Но имеется один из следующих недостатков.
Записи, соответствующие одному или обоим пунктам: II, III, IV, - представлены не в полном объеме или отсутствуют.
ИЛИ
При ПОЛНОМ правильном решении лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.).
ИЛИ
При ПОЛНОМ решении в необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца.
ИЛИ
При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт V, или в нем допущена ошибка.
| 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких- либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №21 по предмету Физика:
ID 107284
В эксперименте установлено, что при температуре воздуха в комнате 23 °C на стенке стакана с хол...
ID 107285
В эксперименте установлено, что при температуре воздуха в комнате $25 градусовС$ на стенке стак...
ID 107286
В эксперименте установлено, что при температуре воздуха в комнате 29 °C на стенке стакана с хол...
ID 107287
В эксперименте установлено, что при температуре воздуха в комнате $25 градусов С$ на стенке ста...
ID 107288
В эксперименте установлено, что при температуре воздуха в комнате $29 градусовС$ на стенке стак...