1.  Запишем уравнения реакций:

1)   $\ChemFormSO_3 + H_2O \reactrarrow0pt1 cm H_2SO_4$
2)   $\ChemFormH_2SO_4 + K_2CO_3 \reactrarrow0pt1 cm CO_2\uparrow + H_2O + K_2SO_4$

2.  Обозначим количества в олеуме $\ChemFormSO_3$ и $\ChemFormH_2SO_4$ за x и y моль соответственно. Тогда:

$\it \nu\rm ( H_2SO_4 ) = 1,2 \cdot 0,5 = 0,6 моль$
$\it \nu\rm ( CO_2 ) = 24,64/22,4 = 1,1 моль$

Исходя из уравнения (2) $\it \nu\rm ( H_2SO_4 ) _общ. = 1,1 моль$ Отсюда $\it \nu\rm ( H_2SO_4 ) _из олеума = 1,1 - 0,6 = 0,5 моль$ Составим систему уравнений:

$$$\begin{cases} x + y=0 \\[6pt] 5 \\[6pt] 80x + 98y=41 \\[6pt] 8 \end{cases}$$$
$$$\begin{cases} x=0 \\[6pt] 5 - y \\[6pt] 80 ( 0 \\[6pt] 5 - y ) + 98y=41 \\[6pt] 8 \end{cases}$$$
$$$\begin{cases} y=0 \\[6pt] 1 \\[6pt] x=0 \\[6pt] 4 \end{cases}$$$
$\it \nu\rm ( SO_3 ) = 0,4 моль$
$\it \nu\rm ( H_2SO_4 ) = 0,1 моль$

После добавления олеума к раствору карбоната калия количество серной кислоты составит $0,1 + 0,4 = 0,5 моль$ Тогда:

$\it \nu\rm ( K_2SO_4 ) = 0,5 моль$
$\it m\rm ( K_2SO_4 ) = 0,5 \cdot 174 = 87 г$
$\it m\rm ( конечн.р - ра ) = 41,8 + 900 - 0,5 \cdot 44 = 919,8 г$
$\it\omega\rm ( K_2SO_4 ) = $\frac{87}{919,8}$ \cdot 100\% = 9,46\%$