[рис.] Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°. Применим в треугольнике ABC теорему \cos ов, получим:

$AC = \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 + ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 - 2 \cdot ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 \cos 120 ^{\circ}}аргумента = \sqrt{аргумента: 3 + 3 + 2 \cdot 3 \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 9}$ аргумента = 3$ $AC = \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 + ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 - 2 \cdot ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 \cos 120 ^{\circ}}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 3 + 3 + 2 \cdot 3 \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 9}$ аргумента = 3$

Отрезок AC равен диаметру окружности. Таким образом, $r = $\frac{AC}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1,5$

Ответ: 1,5.

Приведем другое решение.
[рис.]
Соединим центр O вписанной окружности с вершинами шестиугольника, при этом шестиугольник будет разбит на 6 равных треугольников. Треугольник AOB  — = бедренный, угол при его вершине равен  $\frac{360 ^{\circ}}{6} = 60 ^{\circ}$ следовательно, этот треугольник является = сторонним со стороной  $\sqrt{аргумента: 3} аргумента$
Радиус вписанной окружности является биссектрисой, медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, по теореме Пифагора получаем:

$r = \sqrt{аргумента: AO ^2 - ( $\frac{AB}{2}$ ) ^2} аргумента = \sqrt{аргумента: 3 - $\frac{3}{4}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{9}{4}$} аргумента = 1,5$

Приведем еще одно решение.
[рис.]
Проведем построения, как показано на рисунке. Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°. Треугольник ABC  — = бедренный, отрезок BH является его высотой, медианой и биссектрисой, откуда $AH = HC$ $\angle CBH = \frac{120 ^{\circ}}{2} = 60 ^{\circ}$ Из прямоугольного треугольника CBH находим:

$HC = BC \cdot \sin 60 ^{\circ} = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = 1,5$

Отрезок AC равен диаметру окружности. Таким образом, $r = $\frac{AC}{2}$ = HC = 1,5$