Пусть площадь основания тетраэдра равна S, а высота h. Тогда радиус описанной сферы равен $\frac{3V}{4S} = \frac{h}{4}$ поэтому середина высоты DE (точка P) лежит на поверхности шара и противоположна E. Плоскость, перпендикулярная DE, параллельна плоскости основания пирамиды, поэтому является касательной плоскостью к шару. Следовательно, O совпадает с P.
Опустим перпендикуляры из O и центра шара на грань ABD. Образуются два подобных прямоугольных треугольника, причем коэффициент подобия равен $\frac{h - 0.5h}{h - 0.25h} = \frac{2}{3}$ поэтому $d ( O,ABD ) = $\frac{2}{3}$ r$
Осталось найти r. Поскольку $\frac{4}{3} \pi r ^3 =1$ то $r= корень 3 степени из: начало аргумента: $\frac{3}{4 \pi}$ конец аргумента$ поэтому ответ $корень 3 степени из: начало аргумента: $\frac{2}{9 \pi}$ конец аргумента$

Ответ: $корень 3 степени из: начало аргумента: $\frac{2}{9 \pi}$ конец аргумента$