📐
ЕГЭ 2026
Математика. Профильный уровень
Заданий в базе: 8 885
С решениями: 7 888
С чертежами: 4 326
Номера заданий в КИМ:
✕ Показать все задания
Найдено заданий: 467
В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на $8 \%$ а в 2010 году на $9 \%$ по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Пошаговый разбор и решение:
В 2009 году число жителей стало $40000 + 0,08 \cdot 40000=43200$ человек, а в 2010 году число жителей стало $43200 + 0,09 \cdot 43200=47088$ человек.
Ответ: 47 088.
Ответ: 47 088.
Правильный ответ:
47088
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на $4 \%$ дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Пошаговый разбор и решение:
Обозначим первоначальную стоимость акций за 1. Пусть в понедельник акции компании подорожали на $c \cdot 100 \%$ и их стоимость стала составлять $1 + c \cdot 1$ Во вторник акции подешевели на $c \cdot 100 \%$ и их стоимость стала составлять $1 + c - c ( 1 + c )$ В результате они стали стоить на $4 \%$ дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то есть 0,96. Таким образом,
$1 + c - c ( 1 + c ) =0,96 = сильно 1 - c ^2 =0,96 = сильно c ^2 =0,04 \undersetc больше 0\mathop = сильно c=0,2$
Ответ: 20.
Приведем другое решение.
В результате подорожания акций на х% их стоимость изменяется в $1 + \frac{x}{} 100$ раза, а в результате удешевления изменяется в $1 - \frac{x}{} 100$ раза. Тогда:
$( 1 + \frac{x}{} 100 ) ( 1 - \frac{x}{} 100 ) = $\frac{96}{100}$ = сильно 1 - ( \frac{x}{} 100 ) ^2 = $\frac{96}{100}$ = сильно$
$ = сильно ( \frac{x}{} 100 ) ^2 = \frac{4}{} 100 \underset x больше 0 \mathop = сильно \frac{x}{} 100 = \frac{2}{} 10 = сильно x = 20$ $( 1 + \frac{x}{} 100 ) ( 1 - \frac{x}{} 100 ) = $\frac{96}{100}$ = сильно$
$ = сильно 1 - ( \frac{x}{} 100 ) ^2 = $\frac{96}{100}$ = сильно ( \frac{x}{} 100 ) ^2 = \frac{4}{} 100 \underset x больше 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \frac{x}{} 100 = \frac{2}{} 10 = сильно x = 20$
$1 + c - c ( 1 + c ) =0,96 = сильно 1 - c ^2 =0,96 = сильно c ^2 =0,04 \undersetc больше 0\mathop = сильно c=0,2$
Ответ: 20.
Приведем другое решение.
В результате подорожания акций на х% их стоимость изменяется в $1 + \frac{x}{} 100$ раза, а в результате удешевления изменяется в $1 - \frac{x}{} 100$ раза. Тогда:
$( 1 + \frac{x}{} 100 ) ( 1 - \frac{x}{} 100 ) = $\frac{96}{100}$ = сильно 1 - ( \frac{x}{} 100 ) ^2 = $\frac{96}{100}$ = сильно$
$ = сильно ( \frac{x}{} 100 ) ^2 = \frac{4}{} 100 \underset x больше 0 \mathop = сильно \frac{x}{} 100 = \frac{2}{} 10 = сильно x = 20$ $( 1 + \frac{x}{} 100 ) ( 1 - \frac{x}{} 100 ) = $\frac{96}{100}$ = сильно$
$ = сильно 1 - ( \frac{x}{} 100 ) ^2 = $\frac{96}{100}$ = сильно ( \frac{x}{} 100 ) ^2 = \frac{4}{} 100 \underset x больше 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \frac{x}{} 100 = \frac{2}{} 10 = сильно x = 20$
Правильный ответ:
20
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
Пошаговый разбор и решение:
Стоимость четырех рубашек составляет 92% стоимости куртки. Значит, стоимость одной рубашки составляет 23% стоимости куртки. Поэтому стоимость пяти рубашек составляет 115% стоимости куртки. Это превышает стоимость куртки на 15%.
Ответ: 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ:
15
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Пошаговый разбор и решение:
Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился бы на 4%» означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет $100\% - 67\% - 6\%=27\%$ дохода семьи.
Ответ: 27.
Ответ: 27.
Правильный ответ:
27
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
Пошаговый разбор и решение:
Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на p процентов в год. Тогда за два года она снизилась на $( 1 - 0,01p ) ^2$ откуда имеем:
$20\thinspace000 ( 1 - 0,01p ) ^2 =15\thinspace842 = сильно ( 1 - 0,01p ) ^2 =0,7921 = сильно$
$\underset1 - 0,01p больше 0\mathop = сильно 1 - 0,01p=0,89 = сильно p=11$
Ответ: 11.
$20\thinspace000 ( 1 - 0,01p ) ^2 =15\thinspace842 = сильно ( 1 - 0,01p ) ^2 =0,7921 = сильно$
$\underset1 - 0,01p больше 0\mathop = сильно 1 - 0,01p=0,89 = сильно p=11$
Ответ: 11.
Правильный ответ:
11
Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42 000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.
Пошаговый разбор и решение:
Антон внес $\frac{42000}{200000} \cdot 100 \% =21 \%$ уставного капитала. Тогда Борис внес 100 − 12 − 14 − 21 = 53% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1 000 000 рублей Борису причитается 0,53 · 1 000 000 = 530 000 рублей.
Ответ: 530 000.
Ответ: 530 000.
Правильный ответ:
530000
В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Пошаговый разбор и решение:
Концентрация раствора равна
$C= $\frac{V_в - ва}{V_р - ра}$ \cdot 100\%$
Объем вещества в исходном растворе равен $0,12 \cdot 5=0,6$ литра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
$\frac{0,6}{5 + 7} \cdot 100\%= $\frac{0,6}{12}$ \cdot 100 \%=5 \%$
Ответ: 5.
Примечание.
В текстовых задачах по математике предполагается, что объем раствора, образованного при сливании двух жидкостей, равен сумме их объемов. Это такая же условность, как «мгновенный разворот» в задачах на движение. В действительности объем (в отличие от массы) не всегда обладает таким свойством.
$C= $\frac{V_в - ва}{V_р - ра}$ \cdot 100\%$
Объем вещества в исходном растворе равен $0,12 \cdot 5=0,6$ литра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
$\frac{0,6}{5 + 7} \cdot 100\%= $\frac{0,6}{12}$ \cdot 100 \%=5 \%$
Ответ: 5.
Примечание.
В текстовых задачах по математике предполагается, что объем раствора, образованного при сливании двух жидкостей, равен сумме их объемов. Это такая же условность, как «мгновенный разворот» в задачах на движение. В действительности объем (в отличие от массы) не всегда обладает таким свойством.
Правильный ответ:
5
Смешали некоторое количество 15%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Пошаговый разбор и решение:
Процентная концентрация раствора (массовая доля) равна $\omega= $\frac{m_в - ва}{m_р - ра}$ \cdot 100\%$ Пусть масса получившегося раствора $2m$ Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
$\omega= $\frac{0,15m + 0,19m}{2m}$ \cdot 100\%= $\frac{0,34}{2}$ \cdot 100\%=17\%$
Ответ: 17.
$\omega= $\frac{0,15m + 0,19m}{2m}$ \cdot 100\%= $\frac{0,34}{2}$ \cdot 100\%=17\%$
Ответ: 17.
Правильный ответ:
17
Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Конечно, вместо литров следовало бы говорить о килограммах растворов.
Конечно, вместо литров следовало бы говорить о килограммах растворов.
Пошаговый разбор и решение:
Концентрация раствора равна $C= $\frac{V_в - ва}{V_р - ра}$ \cdot 100\%$ Таким образом, концентрация получившегося раствора равна:
$\frac{0,15 \cdot 4 + 0,25 \cdot 6}{4 + 6} \cdot 100\%= $\frac{2,1}{10}$ \cdot 100\%=21\%$
Ответ: 21.
$\frac{0,15 \cdot 4 + 0,25 \cdot 6}{4 + 6} \cdot 100\%= $\frac{2,1}{10}$ \cdot 100\%=21\%$
Ответ: 21.
Правильный ответ:
21
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Пошаговый разбор и решение:
Виноград содержит 10% питательного вещества, а изюм — 95%. Поэтому 20 кг изюма содержат $20 \cdot 0,95=19$ кг питательного вещества. Таким образом, для получения 20 килограммов изюма требуется $\frac{19}{0,1} =190$ кг винограда.
Ответ: 190.
Ответ: 190.
Правильный ответ:
190
Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
Пошаговый разбор и решение:
Пусть масса первого сплава m1 кг, а масса второго — m2 кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах суть $0,1m_1$ и $0,3m_2$ соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Получаем систему уравнений:
$$$\begin{cases} m_1 + m_2 = 200 \\[6pt] 1m_1 + 0 \\[6pt] 3m_2 = 0 \\[6pt] 25 \cdot 200 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m_2 = 200 - m_1 \\[6pt] 1m_1 + 0 \\[6pt] 3 ( 200 - m_1 ) = 50 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} m_2 = 200 - m_1 \\[6pt] 2m_1 = 10 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m_1 = 50 \\[6pt] m_2 = 150. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} m_1 + m_2 = 200 \\[6pt] 1m_1 + 0 \\[6pt] 3m_2 = 0 \\[6pt] 25 \cdot 200 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} m_2 = 200 - m_1 \\[6pt] 1m_1 + 0 \\[6pt] 3 ( 200 - m_1 ) = 50 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} m_2 = 200 - m_1 \\[6pt] 2m_1 = 10 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m_1 = 50 \\[6pt] m_2 = 150. \end{cases}$$$
Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.
Ответ: 100.
$$$\begin{cases} m_1 + m_2 = 200 \\[6pt] 1m_1 + 0 \\[6pt] 3m_2 = 0 \\[6pt] 25 \cdot 200 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m_2 = 200 - m_1 \\[6pt] 1m_1 + 0 \\[6pt] 3 ( 200 - m_1 ) = 50 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} m_2 = 200 - m_1 \\[6pt] 2m_1 = 10 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m_1 = 50 \\[6pt] m_2 = 150. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} m_1 + m_2 = 200 \\[6pt] 1m_1 + 0 \\[6pt] 3m_2 = 0 \\[6pt] 25 \cdot 200 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} m_2 = 200 - m_1 \\[6pt] 1m_1 + 0 \\[6pt] 3 ( 200 - m_1 ) = 50 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} m_2 = 200 - m_1 \\[6pt] 2m_1 = 10 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m_1 = 50 \\[6pt] m_2 = 150. \end{cases}$$$
Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.
Ответ: 100.
Правильный ответ:
100
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Пошаговый разбор и решение:
Пусть масса первого сплава m кг, а масса второго — $m + 3$ кг, масса третьего сплава − $2m + 3$ кг. Первый сплав содержит 10% меди, второй − 40% меди, третий сплав − 30% меди. Тогда:
$0,1m + 0,4 ( m + 3 ) =0,3 ( 2m + 3 ) = сильно 0,5m + 1,2=0,6m + 0,9 = сильно m=3 = сильно 2m + 3=9$ $0,1m + 0,4 ( m + 3 ) =0,3 ( 2m + 3 ) = сильно$
$ = сильно 0,5m + 1,2=0,6m + 0,9 = сильно m=3 = сильно 2m + 3=9$ $0,1m + 0,4 ( m + 3 ) =0,3 ( 2m + 3 ) = сильно$
$ = сильно 0,5m + 1,2=0,6m + 0,9 = сильно$
$ = сильно m=3 = сильно 2m + 3=9$
Таким образом, масса первого сплава равна 3 кг, тогда масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9.
$0,1m + 0,4 ( m + 3 ) =0,3 ( 2m + 3 ) = сильно 0,5m + 1,2=0,6m + 0,9 = сильно m=3 = сильно 2m + 3=9$ $0,1m + 0,4 ( m + 3 ) =0,3 ( 2m + 3 ) = сильно$
$ = сильно 0,5m + 1,2=0,6m + 0,9 = сильно m=3 = сильно 2m + 3=9$ $0,1m + 0,4 ( m + 3 ) =0,3 ( 2m + 3 ) = сильно$
$ = сильно 0,5m + 1,2=0,6m + 0,9 = сильно$
$ = сильно m=3 = сильно 2m + 3=9$
Таким образом, масса первого сплава равна 3 кг, тогда масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9.
Правильный ответ:
9
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Пошаговый разбор и решение:
Пусть масса 30-процентного раствора кислоты — $m_1$ кг, а масса 60-процентного — $m_2$ Если смешать 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 36-процентный раствор кислоты: $0,3m_1 + 0,6m_2=0,36 ( m_1 + m_2 + 10 )$ Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты: $0,3m_1 + 0,6m_2 + 0,5 \cdot 10=0,41 ( m_1 + m_2 + 10 )$ Решим полученную систему уравнений:
$$$\begin{cases} новая строка 0 \\[6pt] 3m_1 + 0 \\[6pt] 6m_2=0 \\[6pt] 36m_1 + 0 \\[6pt] 36m_2 + 3 \\[6pt] 6 \\[6pt] новая строка 0 \\[6pt] 3m_1 + 0 \\[6pt] 6m_2 + 5=0 \\[6pt] 41m_1 + 0 \\[6pt] 41m_2 + 4 \\[6pt] 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 \\[6pt] 24m_2 - 0 \\[6pt] 06m_1=3 \\[6pt] 6 \\[6pt] новая строка 0 \\[6pt] 11m_1 - 0 \\[6pt] 19m_2=0 \\[6pt] 9 \end{cases}$$ . = сильно$ $$$\begin{cases} новая строка 0 \\[6pt] 3m_1 + 0 \\[6pt] 6m_2=0 \\[6pt] 36m_1 + 0 \\[6pt] 36m_2 + 3 \\[6pt] 6 \\[6pt] новая строка 0 \\[6pt] 3m_1 + 0 \\[6pt] 6m_2 + 5=0 \\[6pt] 41m_1 + 0 \\[6pt] 41m_2 + 4 \\[6pt] 1 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 \\[6pt] 24m_2 - 0 \\[6pt] 06m_1=3 \\[6pt] 6 \\[6pt] новая строка 0 \\[6pt] 11m_1 - 0 \\[6pt] 19m_2=0 \\[6pt] 9 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 4m_2 - m_1=60 \\[6pt] новая строка 11m_1 - 19m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 11 ( 4m_2 - 60 ) - 19 m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 25m_2=750 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=60 \\[6pt] новая строка m_2=30. \end{cases}$$$ $ = сильно $$\begin{cases} новая строка 4m_2 - m_1=60 \\[6pt] новая строка 11m_1 - 19m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 11 ( 4m_2 - 60 ) - 19 m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 25m_2=750 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=60 \\[6pt] новая строка m_2=30. \end{cases}$$$ $ = сильно $$\begin{cases} новая строка 4m_2 - m_1=60 \\[6pt] новая строка 11m_1 - 19m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 11 ( 4m_2 - 60 ) - 19 m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 25m_2=750 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=60 \\[6pt] новая строка m_2=30. \end{cases}$$$
Ответ: 60.
$$$\begin{cases} новая строка 0 \\[6pt] 3m_1 + 0 \\[6pt] 6m_2=0 \\[6pt] 36m_1 + 0 \\[6pt] 36m_2 + 3 \\[6pt] 6 \\[6pt] новая строка 0 \\[6pt] 3m_1 + 0 \\[6pt] 6m_2 + 5=0 \\[6pt] 41m_1 + 0 \\[6pt] 41m_2 + 4 \\[6pt] 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 \\[6pt] 24m_2 - 0 \\[6pt] 06m_1=3 \\[6pt] 6 \\[6pt] новая строка 0 \\[6pt] 11m_1 - 0 \\[6pt] 19m_2=0 \\[6pt] 9 \end{cases}$$ . = сильно$ $$$\begin{cases} новая строка 0 \\[6pt] 3m_1 + 0 \\[6pt] 6m_2=0 \\[6pt] 36m_1 + 0 \\[6pt] 36m_2 + 3 \\[6pt] 6 \\[6pt] новая строка 0 \\[6pt] 3m_1 + 0 \\[6pt] 6m_2 + 5=0 \\[6pt] 41m_1 + 0 \\[6pt] 41m_2 + 4 \\[6pt] 1 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 \\[6pt] 24m_2 - 0 \\[6pt] 06m_1=3 \\[6pt] 6 \\[6pt] новая строка 0 \\[6pt] 11m_1 - 0 \\[6pt] 19m_2=0 \\[6pt] 9 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 4m_2 - m_1=60 \\[6pt] новая строка 11m_1 - 19m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 11 ( 4m_2 - 60 ) - 19 m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 25m_2=750 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=60 \\[6pt] новая строка m_2=30. \end{cases}$$$ $ = сильно $$\begin{cases} новая строка 4m_2 - m_1=60 \\[6pt] новая строка 11m_1 - 19m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 11 ( 4m_2 - 60 ) - 19 m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 25m_2=750 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=60 \\[6pt] новая строка m_2=30. \end{cases}$$$ $ = сильно $$\begin{cases} новая строка 4m_2 - m_1=60 \\[6pt] новая строка 11m_1 - 19m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 11 ( 4m_2 - 60 ) - 19 m_2=90 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=4m_2 - 60 \\[6pt] новая строка 25m_2=750 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка m_1=60 \\[6pt] новая строка m_2=30. \end{cases}$$$
Ответ: 60.
Правильный ответ:
60
Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Пошаговый разбор и решение:
Пусть концентрация первого раствора кислоты — $c_1$ а концентрация второго — $c_2$ Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 68% кислоты: $30c_1 + 20c_2=50 \cdot 0,68$ Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты: $mc_1 + mc_2=2m \cdot 0,7$ Решим полученную систему уравнений:
$$$\begin{cases} новая строка c_1 + c_2=1 \\[6pt] 4 \\[6pt] новая строка 30c_1 + 20c_2=34 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=1 \\[6pt] 4 - c_1 \\[6pt] новая строка 30c_1 + 28 - 20c_1=34 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=1 \\[6pt] 4 - c_1 \\[6pt] новая строка 10c_1=6 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=0 \\[6pt] 8 \\[6pt] новая строка c_1=0 \\[6pt] 6. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка c_1 + c_2=1 \\[6pt] 4 \\[6pt] новая строка 30c_1 + 20c_2=34 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=1 \\[6pt] 4 - c_1 \\[6pt] новая строка 30c_1 + 28 - 20c_1=34 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=1 \\[6pt] 4 - c_1 \\[6pt] новая строка 10c_1=6 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=0 \\[6pt] 8 \\[6pt] новая строка c_1=0 \\[6pt] 6. \end{cases}$$$
Поэтому $m_1=0,6 \cdot 30=18$
Ответ: 18.
$$$\begin{cases} новая строка c_1 + c_2=1 \\[6pt] 4 \\[6pt] новая строка 30c_1 + 20c_2=34 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=1 \\[6pt] 4 - c_1 \\[6pt] новая строка 30c_1 + 28 - 20c_1=34 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=1 \\[6pt] 4 - c_1 \\[6pt] новая строка 10c_1=6 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=0 \\[6pt] 8 \\[6pt] новая строка c_1=0 \\[6pt] 6. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка c_1 + c_2=1 \\[6pt] 4 \\[6pt] новая строка 30c_1 + 20c_2=34 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=1 \\[6pt] 4 - c_1 \\[6pt] новая строка 30c_1 + 28 - 20c_1=34 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=1 \\[6pt] 4 - c_1 \\[6pt] новая строка 10c_1=6 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка c_2=0 \\[6pt] 8 \\[6pt] новая строка c_1=0 \\[6pt] 6. \end{cases}$$$
Поэтому $m_1=0,6 \cdot 30=18$
Ответ: 18.
Правильный ответ:
18
Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Пошаговый разбор и решение:
Пусть банк начислял $p \%$ годовых. Тогда клиент А. за два года получил $7700 ( 1 + 0,01p ) ^2$ руб., а клиент Б. за один год получил $7700 ( 1 + 0,01p )$ руб. Обозначим $x=1 + 0,01p$ тогда поскольку А. получил на 847 руб. больше, имеем:
$7700x ^2 - 7700x = 847 = сильно 100x ^2 - 100x - 11 = 0 = сильно = сильно \left[ \begin{array}{l} x= 1,1, x= - 0,1. \end{array} \right.$
Поскольку $x больше 0$ получаем: $x=1,1$ откуда $p=10$ Таким образом, банк начислял вкладчикам по 10% годовых.
Ответ: 10.
$7700x ^2 - 7700x = 847 = сильно 100x ^2 - 100x - 11 = 0 = сильно = сильно \left[ \begin{array}{l} x= 1,1, x= - 0,1. \end{array} \right.$
Поскольку $x больше 0$ получаем: $x=1,1$ откуда $p=10$ Таким образом, банк начислял вкладчикам по 10% годовых.
Ответ: 10.
Правильный ответ:
10