а)  Выразим формулу объёма пирамиды NEFMK из объёма пирамиды PABC:

$V_NFEKM=V_NMFE + V_NMEK= $\frac{1}{3}$ d ( E,MNF ) \cdot S_MNF + $\frac{1}{3}$ d ( E,MNK ) \cdot S_MNK=$ $V_NFEKM=V_NMFE + V_NMEK=$
$= $\frac{1}{3}$ d ( E,MNF ) \cdot S_MNF + $\frac{1}{3}$ d ( E,MNK ) \cdot S_MNK=$
$= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ d ( A,MNF ) \cdot $\frac{1}{4}$ S_DBC + $\frac{1}{3}$ d ( P,MNK ) \cdot S_MNK= $\frac{1}{8}$ V_ABCD + $\frac{1}{8}$ V_ABCD= $\frac{1}{4}$ V_ABCD$ $= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ d ( A,MNF ) \cdot $\frac{1}{4}$ S_DBC + $\frac{1}{3}$ d ( P,MNK ) \cdot S_MNK=$
$= $\frac{1}{8}$ V_ABCD + $\frac{1}{8}$ V_ABCD= $\frac{1}{4}$ V_ABCD$

( $d ( P,MNK ) =d ( E,MNK )$ поскольку плоскость $MNK$ делит высоту пирамиды пополам и параллельна плоскости основания).
[рис.]
б)  Пусть $Q$   — середина $AB$ Тогда $\Delta QFE=\Delta KMN$   — оба они подобны $\Delta ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ Следовательно, они оба = сторонние. Центр сферы будет лежать на высоте пирамиды, которая равна

$\sqrt{аргумента: AP ^2 - $\frac{4}{9}$ AF ^2} аргумента = \sqrt{аргумента: 36 - $\frac{4}{9}$ \cdot $\frac{3}{4}$ AB ^2} аргумента = \sqrt{аргумента: 36 - $\frac{64}{3}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{44}{3}$} аргумента$

Поскольку $\Delta QFE=\Delta KMN$ равны и их радиусы описанных окружностей. Они равны $\frac{1}{2} R_ABC= $\frac{1}{3}$ AF= \frac{4}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ А центр сферы лежит посредине между плоскостями этих треугольников. Поэтому расстояние от него до плоскостей = $\sqrt{аргумента: $\frac{11}{12}$} аргумента$ и тогда радиус сферы равен $\sqrt{аргумента: $\frac{11}{12}$ + $\frac{16}{3}$} аргумента = \frac{5}{2}$

Ответ: б) $\frac{5}{2}$