Соединим точку $D_1$ с точками K и C отрезками. Из точки $D_1$ проведем перпендикуляр к KC, основание которого обозначим $H$

[рис.]

В декартовой системе координат, где $A ( 0;0;0 )$ (ось x  — направлена по AB, ось $у$   — по $АD$ ось z  — по $AA_1$ ) найдем координаты некоторых точек: $K ( $\frac{1}{2}$ ;0;1 )$ $С ( 1;1;0 )$ $D_1 ( 0;1;1; )$
Найдем длины отрезков $KD_1$ $D_1C$ $KC$

$KD_1= \sqrt{аргумента: ( 0 - $\frac{1}{2}$ )} аргумента ^2 + ( 1 - 0 ) ^2 + ( 1 - 1 ) ^2 = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{4}$ + 1} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{5}{4}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$ $D_1C$ = $\sqrt{аргумента: 2} аргумента$
$KC = \sqrt{аргумента: ( 1 - $\frac{1}{2}$ )} аргумента ^2 + ( 1 - 0 ) ^2 + ( 0 - 1 ) ^2 = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{4}$ + 2} аргумента = \frac{3}{2}$

Пусть $KH = x$ Тогда $DH ^2 =KD_1 ^2 - ( KC - x ) ^2 =D_1C ^2 - x ^2$ а это значит, что

$2 - ( $\frac{3}{2}$ - x ) ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно 2 - $\frac{9}{4}$ + 3x - x ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно 3x= $\frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ - 2 = сильно 3x= $\frac{3}{2}$ = сильно x= \frac{1}{2}$ $2 - ( $\frac{3}{2}$ - x ) ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно 2 - $\frac{9}{4}$ + 3x - x ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно$
$ = сильно 3x= $\frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ - 2 = сильно 3x= $\frac{3}{2}$ = сильно x= \frac{1}{2}$ $2 - ( $\frac{3}{2}$ - x ) ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно$
$ = сильно 2 - $\frac{9}{4}$ + 3x - x ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно 3x= $\frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ - 2 = сильно$
$ = сильно 3x= $\frac{3}{2}$ = сильно x= \frac{1}{2}$
$\rho ^2 =D_1H ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = $\frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ =1 = сильно \rho =1$

Решим эту же задачу элементарно-геометрическим методом.
Дополнительно соединим точки B и K отрезком. Заметим, что $BC\bot ( BB_1A_1 )$ так как $BC\bot BB_1$ $BC\bot AB$ Значит, $BC\bot BK$

$BK=KD_1= \sqrt{аргумента: 1 + $\frac{1}{4}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{5}{4}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$ (по теореме Пифагора).
$KC= $\sqrt{аргумента: KB}$ аргумента ^2 + BC ^2 = \sqrt{аргумента: $\frac{5}{4}$ + 1} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{9}{4}$} аргумента = \frac{3}{2}$

Пусть $KH = x$ Тогда $DH ^2 =KD_1 ^2 - ( KC - x ) ^2 =D_1C ^2 - x ^2$ А это значит, что

$2 - ( $\frac{3}{2}$ - x ) ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно 2 - $\frac{9}{4}$ + 3x - x ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно 3x= $\frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ - 2 = сильно 3x= $\frac{3}{2}$ = сильно x= \frac{1}{2}$ $2 - ( $\frac{3}{2}$ - x ) ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно 2 - $\frac{9}{4}$ + 3x - x ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно$
$ = сильно 3x= $\frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ - 2 = сильно 3x= $\frac{3}{2}$ = сильно x= \frac{1}{2}$ $2 - ( $\frac{3}{2}$ - x ) ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно$
$ = сильно 2 - $\frac{9}{4}$ + 3x - x ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = сильно 3x= $\frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ - 2 = сильно$
$ = сильно 3x= $\frac{3}{2}$ = сильно x= \frac{1}{2}$
$\rho ^2 =D_1H ^2 = $\frac{5}{4}$ - x ^2 = $\frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ =1$

$\rho =1$

Ответ: 1.