В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной, = й 3. Боковое ребро параллелепипеда = 4. На ребре AA1 отмечена точка M так, что AM : A1M = 1 : 3.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMD1.
б) Найдите площадь полученного сечения.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMD1.
б) Найдите площадь полученного сечения.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Построение.
1) Отрезок MB.
2) Отрезок MD1.
3) Точка K, $K принадлежит CC_1,C_1K=1,KC=3$
4) Отрезок D1K.
5) Отрезок BK.
MD1KB — искомое сечение.
Доказательство.
Ясно, что AM = 1, A1M = 3.
Через две пересекающиеся прямые BM и MD1 проходит единственная плоскость.
В прямоугольных треугольниках D1C1K и $MABD_1K= $\sqrt{аргумента: D}$ аргумента _1C_1 ^2 + C_1K ^2 = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ $BM= $\sqrt{аргумента: AB}$ аргумента ^2 + AM ^2 = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ Значит, D1K = BM. Аналогично $MD_1= $\sqrt{аргумента: MA_1}$ аргумента ^2 + A_1D_1 ^2 = $\sqrt{аргумента: 9 + 9}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ,KB= $\sqrt{аргумента: BC}$ аргумента ^2 + KC ^2 =3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ,MD_1=KB$ Следовательно, MD1KB — параллелограмм по признаку параллелограмма. В соответствии с определением параллелограмма получим: MD1 || BK. А через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. Отсюда: $K принадлежит ( BMD_1 )$
б) Пусть $\angle D_1MB= альфа$
В $\Delta D_1MB$ по теореме \cos ов:
$BD_1 ^2 =BM ^2 + MD_1 ^2 - 2BM \cdot MD_1 \cos альфа$ $BD_1 ^2 =AB ^2 + AD ^2 + DD_1 ^2 =9 + 9 + 16=34$
$34=10 + 18 - 2 \cdot $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \cos альфа ; \cos альфа = \frac{28 - 34}{6 $\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента}$
$\sin альфа = $\sqrt{аргумента: 1 - \cos }$ аргумента ^2 альфа = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{20}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} .S ( MD_1KB ) =$
$=BM \cdot MD_1 \cdot \sin альфа = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} =3 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$ $\sin альфа = $\sqrt{аргумента: 1 - \cos }$ аргумента ^2 альфа = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{20}$} аргумента =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} .S ( MD_1KB ) =BM \cdot MD_1 \cdot \sin альфа =$
$= $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} =3 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$
Ответ: $3 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$
1) Отрезок MB.
2) Отрезок MD1.
3) Точка K, $K принадлежит CC_1,C_1K=1,KC=3$
4) Отрезок D1K.
5) Отрезок BK.
MD1KB — искомое сечение.
Доказательство.
Ясно, что AM = 1, A1M = 3.
Через две пересекающиеся прямые BM и MD1 проходит единственная плоскость.
В прямоугольных треугольниках D1C1K и $MABD_1K= $\sqrt{аргумента: D}$ аргумента _1C_1 ^2 + C_1K ^2 = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ $BM= $\sqrt{аргумента: AB}$ аргумента ^2 + AM ^2 = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ Значит, D1K = BM. Аналогично $MD_1= $\sqrt{аргумента: MA_1}$ аргумента ^2 + A_1D_1 ^2 = $\sqrt{аргумента: 9 + 9}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ,KB= $\sqrt{аргумента: BC}$ аргумента ^2 + KC ^2 =3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ,MD_1=KB$ Следовательно, MD1KB — параллелограмм по признаку параллелограмма. В соответствии с определением параллелограмма получим: MD1 || BK. А через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. Отсюда: $K принадлежит ( BMD_1 )$
б) Пусть $\angle D_1MB= альфа$
В $\Delta D_1MB$ по теореме \cos ов:
$BD_1 ^2 =BM ^2 + MD_1 ^2 - 2BM \cdot MD_1 \cos альфа$ $BD_1 ^2 =AB ^2 + AD ^2 + DD_1 ^2 =9 + 9 + 16=34$
$34=10 + 18 - 2 \cdot $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \cos альфа ; \cos альфа = \frac{28 - 34}{6 $\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента}$
$\sin альфа = $\sqrt{аргумента: 1 - \cos }$ аргумента ^2 альфа = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{20}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} .S ( MD_1KB ) =$
$=BM \cdot MD_1 \cdot \sin альфа = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} =3 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$ $\sin альфа = $\sqrt{аргумента: 1 - \cos }$ аргумента ^2 альфа = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{20}$} аргумента =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} .S ( MD_1KB ) =BM \cdot MD_1 \cdot \sin альфа =$
$= $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента} =3 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$
Ответ: $3 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$
Правильный ответ:
$3 корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69216 • Задание №15
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственн...
ID 66287 • Задание №8
Дано уравнение $левая круглая скобка логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби п...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено
ИЛИ
при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено
ИЛИ
при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №10 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 66389
В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результа...
ID 66390
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешев...
ID 66391
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек доро...
ID 66392
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общ...
ID 66393
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей...