В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD , в которой ВС||AD и AD : BC = 2. Через вершину Т пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке М такой, что АМ : MB = 2. Площадь получившегося сечения равна 10, а расстояние от ребра ВС до плоскости сечения = 4.
а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7 : 20.
б) Найдите объем пирамиды.
а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7 : 20.
б) Найдите объем пирамиды.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Отметим на CD точку N такую что $DN:NC=2:1$ Тогда $MN\parallel BC$ поэтому лежит в плоскости сечения. Значит, сечение — треугольник $TMN$ Она делит пирамиду на две пирамиды с общей высотой, поэтому отношение их объемов =
$\frac{S_BCMN}{S_AMND} = $\frac{d ( M,BC ) ( MN + BC )}{d ( M,AD ) ( MN + AD )}$ = \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + AD )} = \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + 2BC )} = \frac{7}{20}$ $\frac{S_BCMN}{S_AMND} = $\frac{d ( M,BC ) ( MN + BC )}{d ( M,AD ) ( MN + AD )}$ =$
$= \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + AD )} = \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + 2BC )} = \frac{7}{20}$ $\frac{S_BCMN}{S_AMND} = $\frac{d ( M,BC ) ( MN + BC )}{d ( M,AD ) ( MN + AD )}$ =$
$= \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + AD )} =$
$= \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + 2BC )} = \frac{7}{20}$
б) $V_TABCD= $\frac{27}{7}$ V_TBCNM= $\frac{27}{7}$ \cdot $\frac{7}{4}$ V_TCNM= $\frac{27}{4}$ \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot d ( C,TNM ) \cdot S_TNM= $\frac{9}{4}$ \cdot 4 \cdot 10=90$
Ответ: б) 90.
$\frac{S_BCMN}{S_AMND} = $\frac{d ( M,BC ) ( MN + BC )}{d ( M,AD ) ( MN + AD )}$ = \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + AD )} = \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + 2BC )} = \frac{7}{20}$ $\frac{S_BCMN}{S_AMND} = $\frac{d ( M,BC ) ( MN + BC )}{d ( M,AD ) ( MN + AD )}$ =$
$= \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + AD )} = \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + 2BC )} = \frac{7}{20}$ $\frac{S_BCMN}{S_AMND} = $\frac{d ( M,BC ) ( MN + BC )}{d ( M,AD ) ( MN + AD )}$ =$
$= \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{1}{3}$ AD + AD )} =$
$= \frac{$\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + BC,}{2 ( $\frac{2}{3}$ BC + $\frac{2}{3}$ BC + 2BC )} = \frac{7}{20}$
б) $V_TABCD= $\frac{27}{7}$ V_TBCNM= $\frac{27}{7}$ \cdot $\frac{7}{4}$ V_TCNM= $\frac{27}{4}$ \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot d ( C,TNM ) \cdot S_TNM= $\frac{9}{4}$ \cdot 4 \cdot 10=90$
Ответ: б) 90.
Правильный ответ:
б) 90
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64400 • Задание №1
Найдите центральный угол AOB, если он на 15° больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дай...
ID 66045 • Задание №8
Дано уравнение $2 косинус в квадрате x минус 2 синус 2x плюс 1=0$
а) Решите уравнение.
б) Укажите его корни,...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено
ИЛИ
при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено
ИЛИ
при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №10 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 66389
В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результа...
ID 66390
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешев...
ID 66391
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек доро...
ID 66392
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общ...
ID 66393
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей...