[рис.] а)  Пусть сечение пересекает плоскость верхнего основания по отрезку MN Так как основания параллельны, то прямая $MN || AC || FD || F_1D_1$ при этом М  — середина $F_1E_1$ значит, MN  — средняя линия треугольника $F_1E_1D_1$ следовательно, N  — середина $E_1D_1$
б)  Построим сечение. Пусть Q и R  — точки пересечения сечения с прямыми $A_1F_1$ и $C_1D_1$ соответственно. Тогда они лежат на прямой MN. Пусть теперь L и P  — точки пересечения прямых AQ и CR (то есть сечения) с ребрами $FF_1$ и $DD_1$ соответственно. Таким образом, сечение  — шестиугольник ALMNPC получаемый из прямоугольника AQRC отрезанием от него двух равных прямоугольных треугольников LMQ и NPR.
Так как основания призмы правильные шестиугольники со стороной $AB=A_1F_1=2$ то $AC=2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ а $QF_1: AF_1=QL: LA=1:4$ Таким образом,

$A_1Q= $\frac{5}{4}$ A_1F_1= \frac{5}{2}$ $AQ= $\sqrt{аргумента: AA_1 ^2 + A_1Q ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 36 + $\frac{25}{4}$} аргумента = \frac{13}{2}$ $QL= $\frac{1}{5}$ AQ= \frac{13}{10}$

Кроме того, $QM=NR= $\frac{1}{4}$ AC= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ Тогда, $S_ALMNPC=S_AQRC - 2S_LMQ=2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot $\frac{13}{2}$ - 2 \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot $\frac{13}{10}$ = $\frac{247}{20}$ $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: $\frac{247}{20} $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$