[рис.] а)  Введем систему координат следующим образом: A  — начало координат, AD совпадает с осью x, AB  — совпадает с осью y, а AA1  — совпадает с осью z.
Объем куба  — 27, следовательно, его ребро = 3, а координаты точек B(0,3,0), C(3,3,0).
Пусть координаты точки E(x0, y0, z0), тогда

$BE ^2 =x ^2 + ( y_0 - 3 ) ^2 + z_0 ^2 =41$
$CE ^2 =x ^2 + ( y_0 - 3 ) ^2 + z_0 ^2 =50$

Вычтем из второго уравнения первое, получим $ - 6x + 9=9$ откуда $x_0=0$ это значит, что точка E лежит в плоскости ABB1, уравнение которой $x = 0$ Что и требовалось доказать.
б)  Заметим, что плоскость EBC параллельна оси х так как содержит прямую BC. Значит, расстояние от точки D1 до плоскости EBC = расстоянию до нее от точки A1 и = длине перпендикуляра опущенного из A1 на прямую EB. Заметим, что $S_A_1B_1C_1=S_BCC_1$ значит, высота EBCC1 в два раза больше высоты EA1B1C1. Каждая из них лежит в плоскости ABB1 (так как первая высота перпендикулярна BCC1, а вторая  — A1B1C1). Тогда координаты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h) или (0, 3 + 2h, 3 + h), где h  — высота EA1B1C1.
Пусть E'  — проекция точки E на BB1. Из треугольника BEE':

$( h + 3 ) ^2 + ( 2h ) ^2 =41 = сильно 5h ^2 + 6h - 32=0$

Таким образом, h = 2.
1.  Пусть координаты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h): E (0, −1, 5). Составим уравнение прямой BE в плоскости ABB1:

$a ( y + 1 ) + b ( z - 5 ) =0$

Этому уравнению удовлетворяет B (0, 3, 0), то есть $4a - 5b=0$ Возьмем $a=5, b=4$ откуда уравнение прямой

$5y + 4z - 15=0$

Тогда

$d ( A_1BE ) = \frac{|5 \cdot 0 + 4 \cdot 3 - 15|}{$\sqrt{аргумента: 5 ^2 + 4 ^2}$ аргумента} = \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента} = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}{41}$

2.  Пусть координаты точки E (0, 3 + 2h, 3 + h): E (0, 7, 5). Составим уравнение прямой BE в плоскости ABB1:

$a ( y - 7 ) + b ( z - 5 ) =0$

Этому уравнению удовлетворяет B (0, 3, 0), то есть $4a + 5b=0$ Возьмем $a=5, b= - 4$ откуда уравнение прямой

$5y - 4z - 15=0$

Тогда

$d ( A_1BE ) = \frac{|5 \cdot 0 - 4 \cdot 3 - 15|}{$\sqrt{аргумента: 5 ^2 + 4 ^2}$ аргумента} = \frac{27}{$\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента} = \frac{27 $\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}{41}$

Ответ: б) $\frac{3 $\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}{41} ; \frac{27 $\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}{41}$