В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 8 и 10, большая диагональ которого равна $2 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента$ Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4.
а) Докажите, что две боковые грани являются прямоугольными треугольниками.
б) Найдите площади двух других боковых граней.
а) Докажите, что две боковые грани являются прямоугольными треугольниками.
б) Найдите площади двух других боковых граней.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть дана пирамида SABCD с вершиной S, точка O — центр основания ABCD, $AB=10$ $BC=8$ $AC=2 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента$ Запишем теорему \cos ов для треугольника ABC:
$BC ^2 =AB ^2 + AC ^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle ABC = сильно$
$ = сильно 64=100 + 4 \cdot 73 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента \cdot \cos \angle ABC = сильно \cos \angle ABC= \frac{41}{5 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента}$ $BC ^2 =AB ^2 + AC ^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle ABC = сильно$
$ = сильно 64=100 + 4 \cdot 73 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента \cdot \cos \angle ABC = сильно$
$ = сильно \cos \angle ABC= \frac{41}{5 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента}$
Диагонали параллелограмма точкой перечесения делятся пополам, поэтому $AO= $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента$ Найдем сторону OB треугольника AOB:
$OB ^2 =AB ^2 + AO ^2 - 2 \cdot AB \cdot OB \cdot \cos \angle ABC=100 + 73 - 2 \cdot 10 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента \cdot \frac{41}{5 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента} =9$ $OB ^2 =AB ^2 + AO ^2 - 2 \cdot AB \cdot OB \cdot \cos \angle ABC=$
$=100 + 73 - 2 \cdot 10 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента \cdot \frac{41}{5 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента} =9$
откуда OB = 3. Тогда
$SA=SC= $\sqrt{аргумента: AO ^2 + SO ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента$ $SB=SD= $\sqrt{аргумента: OB ^2 + SO ^2}$ аргумента =5$
Заметим, что $( $\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента ) ^2 =8 ^2 + 5 ^2$ а значит, $SC ^2 =BC ^2 + SB ^2$ и $SA ^2 =AD ^2 + SD ^2$ то есть треугольники SBC и SAD прямоугольные по теореме, обратной теореме Пифагора.
б) Найдем площади равных треугольников SAB и SCD по формуле Герона:
$S= \sqrt{аргумента: \frac{15 + $\sqrt{начало аргумента: 89}$ аргумента}{2} \cdot \frac{15 - $\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента + 5}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента - 5}{2}}аргумента = $\frac{1}{4}$ $\sqrt{аргумента: ( 225 - 89 ) ( 89 - 25 )}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента$ $S= \sqrt{аргумента: \frac{15 + $\sqrt{начало аргумента: 89}$ аргумента}{2} \cdot \frac{15 - $\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента + 5}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента - 5}{2}}аргумента =$
$= $\frac{1}{4}$ $\sqrt{аргумента: ( 225 - 89 ) ( 89 - 25 )}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента$
Ответ: б) $4 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента$
$BC ^2 =AB ^2 + AC ^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle ABC = сильно$
$ = сильно 64=100 + 4 \cdot 73 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента \cdot \cos \angle ABC = сильно \cos \angle ABC= \frac{41}{5 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента}$ $BC ^2 =AB ^2 + AC ^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle ABC = сильно$
$ = сильно 64=100 + 4 \cdot 73 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента \cdot \cos \angle ABC = сильно$
$ = сильно \cos \angle ABC= \frac{41}{5 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента}$
Диагонали параллелограмма точкой перечесения делятся пополам, поэтому $AO= $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента$ Найдем сторону OB треугольника AOB:
$OB ^2 =AB ^2 + AO ^2 - 2 \cdot AB \cdot OB \cdot \cos \angle ABC=100 + 73 - 2 \cdot 10 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента \cdot \frac{41}{5 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента} =9$ $OB ^2 =AB ^2 + AO ^2 - 2 \cdot AB \cdot OB \cdot \cos \angle ABC=$
$=100 + 73 - 2 \cdot 10 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента \cdot \frac{41}{5 $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента} =9$
откуда OB = 3. Тогда
$SA=SC= $\sqrt{аргумента: AO ^2 + SO ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента$ $SB=SD= $\sqrt{аргумента: OB ^2 + SO ^2}$ аргумента =5$
Заметим, что $( $\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента ) ^2 =8 ^2 + 5 ^2$ а значит, $SC ^2 =BC ^2 + SB ^2$ и $SA ^2 =AD ^2 + SD ^2$ то есть треугольники SBC и SAD прямоугольные по теореме, обратной теореме Пифагора.
б) Найдем площади равных треугольников SAB и SCD по формуле Герона:
$S= \sqrt{аргумента: \frac{15 + $\sqrt{начало аргумента: 89}$ аргумента}{2} \cdot \frac{15 - $\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента + 5}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента - 5}{2}}аргумента = $\frac{1}{4}$ $\sqrt{аргумента: ( 225 - 89 ) ( 89 - 25 )}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента$ $S= \sqrt{аргумента: \frac{15 + $\sqrt{начало аргумента: 89}$ аргумента}{2} \cdot \frac{15 - $\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента + 5}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 89}$ аргумента - 5}{2}}аргумента =$
$= $\frac{1}{4}$ $\sqrt{аргумента: ( 225 - 89 ) ( 89 - 25 )}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента$
Ответ: б) $4 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента$
Правильный ответ:
б) $4 корень из: начало аргумента: 34 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71457 • Задание №19
В наборе 70 гирек массой 1, 2, ..., 70 граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы...
ID 68137 • Задание №14
На ребрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что BL : LC...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №10 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 66389
В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результа...
ID 66390
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешев...
ID 66391
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек доро...
ID 66392
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общ...
ID 66393
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей...