а) Решите уравнение $\log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = 4 + \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[ - 3 \pi ; 2 \pi ]$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[ - 3 \pi ; 2 \pi ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Заметим, что уравнение определено при $0 меньше \cos x меньше 1$ Преобразуем уравнение с учетом этого условия.
$\log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = 4 + \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 = сильно \log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 \cos в степени 4 x = сильно$
$ = сильно 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 = 3 \cos в степени 4 x = сильно 3 ( \sin ^2 x - \cos ^2 x ) ( \cos ^2 x + \sin ^2 x ) + \cos 4x + 2 = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \cos ^2 2x - 3 \cos 2x + 1 = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1, \cos 2x = $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x = 2 \pi k, 2x = \pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = \pi k, x = \pm $\frac{\pi}{6}$ + \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = 4 + \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 \cos в степени 4 x = сильно 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 = 3 \cos в степени 4 x = сильно$
$ = сильно 3 ( \sin ^2 x - \cos ^2 x ) ( \cos ^2 x + \sin ^2 x ) + \cos 4x + 2 = 0 = сильно 2 \cos ^2 2x - 3 \cos 2x + 1 = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1, \cos 2x = $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x = 2 \pi k, 2x = \pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = \pi k, x = \pm $\frac{\pi}{6}$ + \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = 4 + \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 \cos в степени 4 x = сильно$
$ = сильно 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 = 3 \cos в степени 4 x = сильно$
$ = сильно 3 ( \sin ^2 x - \cos ^2 x ) ( \cos ^2 x + \sin ^2 x ) + \cos 4x + 2 = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \cos ^2 2x - 3 \cos 2x + 1 = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1, \cos 2x = $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x = 2 \pi k, 2x = \pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = \pi k, x = \pm $\frac{\pi}{6}$ + \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
Условию на $\cos x$ удовлетворяют только корни $x=\pm $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi k$ $k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств:
$ - 3 \pi меньше или = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi k меньше или = 2 \pi = сильно - $\frac{19}{12}$ меньше или = k меньше или = $\frac{11}{12}$ = сильно k принадлежит \{ - 1,0 \}$
Этим значениям k соответствуют корни $ - \frac{11 \pi}{6}$ $\frac{\pi}{6}$
$ - 3 \pi меньше или = - $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi k меньше или = 2 \pi = сильно - $\frac{17}{12}$ меньше или = k меньше или = $\frac{13}{12}$ = сильно k принадлежит \{ - 1,0,1 \}$
Этим значениям k соответствуют корни $ - \frac{13 \pi}{6}$ $ - \frac{\pi}{6}$ $\frac{11 \pi}{6}$
Ответ: а) $\{ \pm $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{13 \pi}{6}$ $ - \frac{11 \pi}{6}$ $ - \frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{11 \pi}{6}$
$\log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = 4 + \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 = сильно \log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 \cos в степени 4 x = сильно$
$ = сильно 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 = 3 \cos в степени 4 x = сильно 3 ( \sin ^2 x - \cos ^2 x ) ( \cos ^2 x + \sin ^2 x ) + \cos 4x + 2 = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \cos ^2 2x - 3 \cos 2x + 1 = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1, \cos 2x = $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x = 2 \pi k, 2x = \pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = \pi k, x = \pm $\frac{\pi}{6}$ + \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = 4 + \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 \cos в степени 4 x = сильно 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 = 3 \cos в степени 4 x = сильно$
$ = сильно 3 ( \sin ^2 x - \cos ^2 x ) ( \cos ^2 x + \sin ^2 x ) + \cos 4x + 2 = 0 = сильно 2 \cos ^2 2x - 3 \cos 2x + 1 = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1, \cos 2x = $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x = 2 \pi k, 2x = \pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = \pi k, x = \pm $\frac{\pi}{6}$ + \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = 4 + \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка \cos x ) ( 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 ) = \log_{левая} круглая скобка \cos x ) 3 \cos в степени 4 x = сильно$
$ = сильно 3 \sin в степени 4 x + \cos 4 x + 2 = 3 \cos в степени 4 x = сильно$
$ = сильно 3 ( \sin ^2 x - \cos ^2 x ) ( \cos ^2 x + \sin ^2 x ) + \cos 4x + 2 = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \cos ^2 2x - 3 \cos 2x + 1 = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1, \cos 2x = $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x = 2 \pi k, 2x = \pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = \pi k, x = \pm $\frac{\pi}{6}$ + \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
Условию на $\cos x$ удовлетворяют только корни $x=\pm $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi k$ $k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств:
$ - 3 \pi меньше или = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi k меньше или = 2 \pi = сильно - $\frac{19}{12}$ меньше или = k меньше или = $\frac{11}{12}$ = сильно k принадлежит \{ - 1,0 \}$
Этим значениям k соответствуют корни $ - \frac{11 \pi}{6}$ $\frac{\pi}{6}$
$ - 3 \pi меньше или = - $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi k меньше или = 2 \pi = сильно - $\frac{17}{12}$ меньше или = k меньше или = $\frac{13}{12}$ = сильно k принадлежит \{ - 1,0,1 \}$
Этим значениям k соответствуют корни $ - \frac{13 \pi}{6}$ $ - \frac{\pi}{6}$ $\frac{11 \pi}{6}$
Ответ: а) $\{ \pm $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{13 \pi}{6}$ $ - \frac{11 \pi}{6}$ $ - \frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{11 \pi}{6}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69344 • Задание №15
Внутри равностороннего треугольника ABC в произвольном месте поставлена точка M.
а) Докажите, что сумма расст...
ID 65135 • Задание №4
[рис.] Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 с...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...