Найдем ограничения на x системы в целом. $$$\begin{cases} новая строка x не = - 1 \\[6pt] новая строка x больше или = 1 \end{cases}$$ . = сильно x больше или = 1$
Рассмотрим первое неравенство.
Имеем: $x в степени ( 5 ) + 1= ( x + 1 ) \cdot ( x в степени ( 4 ) - x ^3 + x ^2 - x + 1 )$ Поскольку число −1 не относится к числу решений неравенства, то мы вправе понизить степень числителя и знаменателя, разделив их на $x + 1$ Тогда для $x больше или = 1$ будем иметь:

$\frac{x в степени ( 4 ) - x ^3 + x ^2 - x + 1}{( x + 1 ) в степени ( 4 )} - $\frac{11}{81}$ больше 0 = сильно $\frac{81x в степени ( 4 ) - 81x ^3 + 81x ^2 - 81x + 81 - 11x в степени ( 4 ) - 44x ^3 - 66x ^2 - 44x - 11}{( x + 1 ) в степени ( 4 )}$ больше 0 = сильно$ $\frac{x в степени ( 4 ) - x ^3 + x ^2 - x + 1}{( x + 1 ) в степени ( 4 )} - $\frac{11}{81}$ больше 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{81x в степени ( 4 ) - 81x ^3 + 81x ^2 - 81x + 81 - 11x в степени ( 4 ) - 44x ^3 - 66x ^2 - 44x - 11}{( x + 1 ) в степени ( 4 )}$ больше 0 = сильно$

$ = сильно 70x в степени ( 4 ) - 125x ^3 + 15x ^2 - 125x + 70 больше 0 = сильно 14x в степени ( 4 ) - 25x ^3 + 3x ^2 - 25x + 14 больше 0$ $ = сильно 70x в степени ( 4 ) - 125x ^3 + 15x ^2 - 125x + 70 больше 0 = сильно$
$ = сильно 14x в степени ( 4 ) - 25x ^3 + 3x ^2 - 25x + 14 больше 0$

Найдем корни левой части последнего неравенства, если они имеются. Для этого решим уравнение $14x в степени ( 4 ) - 25x ^3 + 3x ^2 - 25x + 14=0$ Это симметрическое (возвратное) уравнение. Ясно, что $x не = 0$ поскольку $14 не = 0$ Разделим обе части уравнения на $x ^2 не = 0:$

$14x ^2 - 25x + 3 - $\frac{25}{x}$ + $\frac{14}{x ^2}$ =0 = сильно 14 ( x ^2 + $\frac{1}{x ^2}$ ) - 25 ( x + $\frac{1}{x}$ ) + 3=0 = сильно$ $14x ^2 - 25x + 3 - $\frac{25}{x}$ + $\frac{14}{x ^2}$ =0 = сильно$
$ = сильно 14 ( x ^2 + $\frac{1}{x ^2}$ ) - 25 ( x + $\frac{1}{x}$ ) + 3=0 = сильно$

$ = сильно 14 ( x ^2 + 2 + $\frac{1}{x ^2}$ ) - 25 ( x + $\frac{1}{x}$ ) + 3 - 28=0 = сильно 14 ( x + $\frac{1}{x}$ ) ^2 - 25 ( x + $\frac{1}{x}$ ) - 25=0$ $ = сильно 14 ( x ^2 + 2 + $\frac{1}{x ^2}$ ) - 25 ( x + $\frac{1}{x}$ ) + 3 - 28=0 = сильно$
$ = сильно 14 ( x + $\frac{1}{x}$ ) ^2 - 25 ( x + $\frac{1}{x}$ ) - 25=0$

Введем новую переменную. Пусть $x + $\frac{1}{x}$ =t$ тогда

$14t ^2 - 25t - 25=0 = сильно t= \frac{25\pm $\sqrt{аргумента: 625 + 1400}$ аргумента}{28} = сильно$

$ = сильно t= \frac{25\pm $\sqrt{аргумента: 2025}$ аргумента}{28} = сильно t= $\frac{25\pm 45}{28}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} t= - $\frac{20}{28}$ = - $\frac{5}{7}$ , t= $\frac{70}{28}$ = $\frac{5}{2}$ \end{array} \right.$

Теперь вернемся к переменной $x$ $x + $\frac{1}{x}$ - $\frac{5}{2}$ =0$ Поскольку $x не = 0$ то

$x + $\frac{1}{x}$ - $\frac{5}{2}$ =0 = сильно 2x ^2 - 5x + 2=0 = сильно x ^2 - ( 2 + $\frac{1}{2}$ ) x + 1=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=2, x= $\frac{1}{2}$ . \end{array} \right.$ $x + $\frac{1}{x}$ - $\frac{5}{2}$ =0 = сильно 2x ^2 - 5x + 2=0 = сильно$
$ = сильно x ^2 - ( 2 + $\frac{1}{2}$ ) x + 1=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=2, x= $\frac{1}{2}$ . \end{array} \right.$

А уравнение $x + $\frac{1}{x}$ = - \frac{5}{7}$ решений не имеет, так как противоречит неравенству $\left| x + $\frac{1}{x}$ | больше или = 2$
Итак, $14x в степени ( 4 ) - 25x ^3 + 3x ^2 - 25x + 14 больше 0 = сильно ( x - $\frac{1}{2}$ ) ( x - 2 ) больше 0 ( * )$
Но, при $x больше или = 1$ получаем, что $x - $\frac{1}{2}$ больше 0$ Значит, интервал $( 2; + бесконечность )$ и есть решения неравенства (*) на множестве $[ 1; + бесконечность )$
Теперь решим второе неравенство системы. Оно выглядит так: $корень 3 степени из: начало аргумента: 2 - x конец аргумента + $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента больше 1$ Введем новую переменную. Пусть $\sqrt{аргумента: x - 1} аргумента =u,u больше или = 0$ Тогда $x - 1=u ^2 = сильно x=u ^2 + 1$ Неравенство принимает вид: $корень 3 степени из: начало аргумента: 2 - u конец аргумента ^2 - 1 больше 1 - u$ Возведем обе части неравенства в третью степень и получим:

$1 - u ^2 больше 1 - 3u + 3u ^2 - u ^3 = сильно u ^3 - 4u ^2 + 3u больше 0 = сильно u ( u ^2 - 4u + 3 ) больше 0 = сильно u ( u - 1 ) ( u - 3 ) больше 0$ $1 - u ^2 больше 1 - 3u + 3u ^2 - u ^3 = сильно u ^3 - 4u ^2 + 3u больше 0 = сильно$
$ = сильно u ( u ^2 - 4u + 3 ) больше 0 = сильно u ( u - 1 ) ( u - 3 ) больше 0$

По смыслу последнего неравенства $u не = 0$ Учитывая неотрицательность переменной u будем иметь:

$u больше 0,u ( u - 1 ) ( u - 3 ) больше 0 = сильно ( u - 1 ) ( u - 3 ) больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше u меньше 1 u больше 3 \end{array} \right.$

Перейдем к переменной $x:$

$0 меньше $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента меньше 1 = сильно $$\begin{cases} x - 1 больше 0 x - 1 меньше 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше 1 x меньше 2 \end{cases}$$ . = сильно 1 меньше x меньше 2. $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента больше 3 = сильно x - 1 больше 9 = сильно x больше 10$ $0 меньше $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента меньше 1 = сильно $$\begin{cases} x - 1 больше 0 x - 1 меньше 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше 1 x меньше 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно 1 меньше x меньше 2. $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента больше 3 = сильно x - 1 больше 9 = сильно x больше 10$

Итак, решениями второго неравенства системы является множество $( 1;2 ) \cup ( 10; + бесконечность )$
Пересечением решений обоих неравенств будет множество $( 10; + бесконечность )$

Замечание.
Ясно, что $( x + 1 ) в степени ( 4 ) =x в степени ( 4 ) + 4x ^3 + 6x ^2 + 4x + 1$ где 1; 4; 6; 4; 1  — соответствующие биномиальные коэффициенты.

Ответ: $( 10; + бесконечность )$