Рассмотрим первое неравенство. Найдем ограничения на $x:$

$$$\begin{cases} новая строка x - 1 больше 0 \\[6pt] новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка 5 - x больше 0 \\[6pt] новая строка x ^2 - 8x + 15 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше 1 \\[6pt] новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка x меньше 5 \\[6pt] новая строка x не = 3 \\[6pt] новая строка x не = 5 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше 1 \\[6pt] новая строка x не = 2 \\[6pt] новая строка x меньше 5 \\[6pt] новая строка x не = 3. \end{cases}$$$

Разрешенные значения x для первого неравенства: $1 меньше x меньше 2$ $2 меньше x меньше 3$ $3 меньше x меньше 5$ Найдем значения x, при которых числитель обращается в нуль, т. е. решения уравнения $\log _x - 1 ( 5 - x ) =0$ Уравнение решим методом рационализации:

$( x - 1 - 1 ) \cdot ( 5 - x - 1 ) =0 = сильно ( x - 2 ) \cdot ( x - 4 ) =0$

Так как $x не = 2$ то 4 – единственный корень рассматриваемого уравнения. При $x не = 4$ числитель левой части первого неравенства положительна. Теперь нам надо найти значения x, при которых знаменатель будет положительным. Решениями неравенства $x ^2 - 8x + 15 больше 0$ является множество $( - бесконечность ;3 ) \cup ( 5; + бесконечность )$ С учетом ограничений на x решения первого неравенства системы: $( 1;2 ) \cup ( 2;3 ) \cup \{ 4 \}$
Рассмотрим второе неравенство пока что только на множестве $( 1;2 ) \cup ( 2;3 )$
Заметим, что при этих значениях x $x - 3 меньше 0$ $x - 1 больше 0$ значит,

$( x - 3 ) \cdot ( x - 1 ) меньше 0, | ( x - 3 ) \cdot ( x - 1 ) |= ( x - 3 ) \cdot ( 1 - x )$

С учетом полученного результата будем иметь: $\frac{( x - 3 ) \cdot ( 1 - x )}{\left| ( x - 3 ) \cdot ( x - 1 ) |} =1$
Из-за ограниченности функции $f ( x ) = \sin 4x$ имеем: $ - $\frac{1}{5}$ меньше или = $\frac{1}{5}$ \sin 4x меньше или = \frac{1}{5}$ Значит,

$1 - $\frac{1}{5}$ меньше или = $\frac{( x - 3 ) \cdot ( 1 - x )}{\left| ( x - 3 ) \cdot ( x - 1 ) |}$ + $\frac{1}{5}$ \sin 4x меньше или = 1 + \frac{1}{5}$ т. е. $\frac{4}{5} меньше или = $\frac{( x - 3 ) \cdot ( 1 - x )}{\left| ( x - 3 ) \cdot ( x - 1 ) |}$ + $\frac{1}{5}$ \sin 4x меньше или = \frac{6}{5}$

для всех $x принадлежит ( 1;2 ) \cup ( 2;3 )$ т. е. на этом множестве выражение $\frac{( x - 3 ) \cdot ( 1 - x )}{\left| ( x - 3 ) \cdot ( x - 1 ) |} + $\frac{1}{5}$ \sin 4x$ принимает только положительные значения. Следовательно, дальнейшее исследование второго неравенства сводится к решению более простого неравенства: $( 4 в степени ( десятичный \log x ) + x в степени ( десятичный \log 4 ) - 128 ) \cdot $\frac{5 в степени ( x ) - 25}{3 - 2 в степени ( x )}$ больше или = 0$
На рассматриваемом множестве также выполняется равенство $x в степени ( десятичный \log 4 ) =4 в степени ( десятичный \log x )$ значит,

$( 4 в степени ( десятичный \log x ) + 4 в степени ( десятичный \log x ) - 128 ) \cdot $\frac{5 в степени ( x ) - 25}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _23}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \cdot 4 в степени ( десятичный \log x ) - 2 \cdot 4 ^3 ) \cdot $\frac{5 в степени ( x ) - 5 ^2}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _23}$ меньше или = 0 = сильно ( 4 в степени ( десятичный \log x ) - 4 ^3 ) \cdot $\frac{5 в степени ( x ) - 5 ^2}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _23}$ меньше или = 0$ $( 4 в степени ( десятичный \log x ) + 4 в степени ( десятичный \log x ) - 128 ) \cdot $\frac{5 в степени ( x ) - 25}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _23}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \cdot 4 в степени ( десятичный \log x ) - 2 \cdot 4 ^3 ) \cdot $\frac{5 в степени ( x ) - 5 ^2}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _23}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 4 в степени ( десятичный \log x ) - 4 ^3 ) \cdot $\frac{5 в степени ( x ) - 5 ^2}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _23}$ меньше или = 0$

Используя единый метод рационализации, получим: $\frac{( десятичный \log x - 3 ) \cdot ( x - 2 )}{x - \log _23} меньше или = 0$
Но для всех x, таких, что $1 меньше x меньше 3$ $десятичный \log x меньше 1$ следовательно, $десятичный \log x - 3 меньше 0$ значит, дальнейшая наша задача  — рассмотрение неравенства $\frac{x - 2}{x - \log _23} больше или = 0$ на множестве $( 1;2 ) \cup ( 2;3 )$
Так как $\log _23 меньше 2$ то

$\frac{x - 2}{x - \log _23} больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше \log _23 x больше 2 \end{array} \right.$

На рассматриваемом множестве результат будет выглядеть так: $1 меньше x меньше \log _23$ $2 меньше x меньше 3$
Для полноты решения докажем, что число 4, которое входит в решение первого неравенства, не удовлетворяет второму неравенству.
При $x=4:$
1)   $4 в степени ( десятичный \log 4 ) + 4 в степени ( десятичный \log 4 ) - 128=2 \cdot 4 в степени ( десятичный \log 4 ) - 128$ Докажем, что значение этого выражения отрицательно. Действительно,

$2 \cdot 4 в степени ( десятичный \log 4 ) - 128 меньше 0 = сильно 4 в степени ( десятичный \log 4 ) меньше 64 = сильно 4 в степени ( десятичный \log 4 ) меньше 4 ^3 = сильно десятичный \log 4 меньше 3 = сильно$

$ = сильно десятичный \log 4 меньше десятичный \log 1000 = сильно 4 меньше 1000$ (верное неравенство).

2)   $\frac{5 в степени ( 4 ) - 25}{3 - 2 в степени ( 4 )} = $\frac{625 - 25}{3 - 16}$ меньше 0$
3)   $\frac{( 4 - 3 ) \cdot ( 1 - 4 )}{| ( 4 - 3 ) \cdot ( 4 - 1 ) |} = $\frac{ - 3}{3}$ = - 1$ $ - $\frac{1}{5}$ меньше или = $\frac{1}{5}$ \sin 16 меньше или = \frac{1}{5}$ $ - $\frac{6}{5}$ меньше или = - 1 + $\frac{1}{5}$ \sin 16 меньше или = - \frac{4}{5}$ $ - 1 + $\frac{1}{5}$ \sin 16 меньше 0$
Произведение трех отрицательных чисел (левая часть второго неравенства) будет отрицательным. А это противоречит смыслу второго неравенства. Значит, число 4 не является решением системы.
Итак, решениями исходной системы является множество $( 1;\log _23 ) \cup ( 2;3 )$

Замечание.
Равенство $a в степени ( \log ) _cb=b в степени ( \log ) _ca$ для $a больше 0$ $a не = 1$ $b больше 0$ $b не = 1$ $c больше 0$ $c не = 1$ что было использовано при решении второго неравенства, легко выводимо. Для доказательства достаточно обе части равенства про\log ировать по основанию $c$

Ответ: $( 1;\log _23 ) \cup ( 2;3 )$