Раскроем скобки и укажем части речи выделенных слов.

1)  НАУТРО выпал снег, ПОЭТОМУ Волга стала совсем белой.
2)  НА ВЕРХУ великолепных палат сидел Атлант и держал на плечах небо В ВИДЕ шара, который был осыпан рубинами.
3)  Снег под напором ветра летел НАВСТРЕЧУ ВДОЛЬ улицы.
4)  «Поезжай к князю Петру Ивановичу и подробно узнай, что и как»,  — сказал он одному из адъютантов и ВСЛЕД ЗА ТЕМ обратился к принцу Виртембергскому.
5)  [НА ПРОТЯЖЕНИИ всего дня дети играли на лужайке], [взрослые ТАКЖЕ были во дворе].

Слитно/раздельно пишутся наречия:

Наутро (выпал когда?).

Поэтому (почему?).

Навстречу (летел как?).

Вслед (за тем) (устойчивый оборот, обратился когда?)

Раздельно пишутся имена сущ. с предлогом:

На верху (чего? палат).

В виде (= в форме шара).

Раздельно/слитно пишутся предлоги:

Вдоль (чего? улицы).

На протяжении (чего? дня).

Раздельно пишется местоимение с предлогом:

(вслед) За тем (=вслед за этим; после первого действия было второе, устойчивый оборот). К указательному местоимению всегда можно задать физический вопрос: вслед за чем? вслед за каким событием? — вслед за ТЕМ (событием), то есть вслед за тем, как он отправил адъютанта к князю.

Слитно пишется простой союз:

Также (=ещё; сочинительный союз в сложном предложении, значение присоединения).

Ответ: 13.