1)  [В ТОТ ЖЕ день, когда Базаров в саду объяснял Аркадию], (ПОЧЕМУ не принялись молодые дубки), он познакомился с Фенечкой.
2)  Но мне ТАКЖЕ кажется, что Лежнёв не стал бы говорить ПОПУСТУ, не взвесив то, что говорит.
3)  Я ТОЖЕ опустил руку в воду, ЧТОБЫ узнать направление течения.
4)  Мы ПОДОЛГУ сидели на берегу В ОБНИМКУ, молчали и слушали прибой.
5)  Перед выездом Олег решил ВСЁ−ТАКИ сообщить родителям о своём скором прибытии, дабы не застать их ВРАСПЛОХ.

Слитно/раздельно пишутся наречия:

Почему (не принялись?, местоименное наречие, в предложении союзное слово).

Попусту (говорить как?).

В обнимку (сидели как? с предлогом «в» слова, ставшие наречиями, пишутся раздельно, если слово начинается на «о»).

Подолгу (сидели как?).

Врасплох (застать как? (словарное написание).

Слитно пишутся простые союзы:

Также (=ещё; что-то кажется, а ещё, что Лежнев..., значение присоединения).

Тоже (кто-то опустил руку и я тоже, значение присоединения).

Чтобы (опустил зачем?, подчинительный союз цели).

Раздельно пишутся местоимения с частицами:

В тот же день (какой именно тот? Указательное местоимение и частица «же»).

Раздельно/через дефис пишутся слова с частью таки:

Всё-таки (с местоимениями пишется через дефис).

Ответ: 23.