Углы A и HCB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому из треугольников BHC и BCA имеем:

$BH=CH \text{tg} \angle HCB = CH \text{tg} A = AH \text{tg} ^2 A = 27 \cdot $\frac{2}{3}$ \cdot $\frac{2}{3}$ =12$

Ответ: 12.

Приведем другое решение.
Из треугольника ACH по определению \text{tg} а находим, что $\text{tg} A= \frac{CH}{AH}$ Тогда:

$CH=AH \cdot \text{tg} A=27 \cdot $\frac{2}{3}$ =18$

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, получим: $CH ^2 =AH \cdot HB$ Следовательно,

$BH= $\frac{CH ^2}{AH}$ = $\frac{18 \cdot 18}{27}$ =12$