[рис.] Пусть сфера радиуса r с центром O касается внутренним образом данных сфер с центрами O1, O2, O3 и O4. Тогда O  — центр правильного тетраэдра O1O2O3O4, ребро которого = 2. Радиус R сферы, описанной около правильного тетраэдра O1O2O3O4, равен $\frac{3}{4}$ его высоты, т. е.

$R= $\frac{3}{4}$ \cdot 2 \sqrt{аргумента: $\frac{2}{3}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{3}{2}$} аргумента$

Следовательно, $r = R - 1 = \sqrt{аргумента: $\frac{3}{2}$} аргумента - 1$
Если сфера радиуса r с центром O касается данных сфер внешним образом, то аналогично находим, что

$r = R + 1 = \sqrt{аргумента: $\frac{3}{2}$} аргумента + 1$
[рис.]
Ответ: $\sqrt{аргумента: $\frac{3}{2}$} аргумента - 1$ или $\sqrt{аргумента: $\frac{3}{2}$} аргумента + 1$