[рис.] Пусть данные сферы с центрами O1, O2 и O3 касаются основания конуса с вершиной A, а центр O4 четвёртой сферы лежит на высоте конуса, = й H. Рассмотрим правильный тетраэдр O1O2O3O4, ребро которого = 2. Если h  — его высота, а α  — угол между высотой O4M и боковым ребром, то

$h = 2 \sqrt{аргумента: $\frac{2}{3}$} аргумента , \sin альфа = $\frac{O_2M}{O_1O_2}$ = \frac{\frac{2 $\sqrt{3}$}{3} ,}{2} = \frac{$\sqrt{3}$}{3}$

Пусть сфера с центром O4 касаются боковой поверхности конуса в точке B. Тогда O4B ⊥ AB и

$AO_4 = $\frac{O_1B}{\sin альфа}$ = \frac{1}{} \frac{$\sqrt{3}$}{3} = \sqrt{3}$

Следовательно, $H=1 + h + O_4A=1 + 2 \sqrt{аргумента: $\frac{2}{3}$} аргумента + \sqrt{3}$

Ответ: $1 + 2 \sqrt{аргумента: $\frac{2}{3}$} аргумента + \sqrt{3}$