Два шара касаются друг друга и граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Рассмотрим куб с вершиной P (рис. 1). Пусть его диагональ, проведённая из вершины P, образует с плоскостями трёх граней, содержащих вершину P, углы, равные α. Если ребро куба = c, то его диагональ равна $c \sqrt{3}$ Значит,
$\sin альфа = \frac{c}{} c $\sqrt{3}$ = \frac{1}{} \sqrt{3}$
Пусть касающиеся шары радиусов r и R (r R) с центрами O1, O2 вписаны в трёхгранный угол с вершиной P некоторого куба, M1 и M2 — точки касания шаров с плоскостью какой-нибудь грани трёхгранного угла, Q — точка касания шаров. Тогда O1M1 и O2M2 — перпендикуляры к этой плоскости, точка Q лежит на отрезке O1O2, прямая O1O2 образует с этой плоскостью угол α.
Проведём плоскость через параллельные прямые O1M1 и O2M2 (рис. 2). Опустим перпендикуляр O1F из центра O1 меньшего шара на прямую O2M2. В прямоугольном треугольнике O1FO2 известно, что
O1O2 = r + R, O2F = R − r, ∠FO1O2 = α.
[рис.] Поэтому
$\frac{R - r}{R + r} = $\frac{O_2F}{O_1O_2}$ = \sin \angl FO_1O_2 = \sin альфа = \frac{1}{} \sqrt{3}$
Тогда $( R - r ) $\sqrt{3}$ = R + r, R ( $\sqrt{3}$ - 1 ) = r ( $\sqrt{3}$ + 1 ) .$
Следовательно,
$\frac{r}{R} = \frac{$\sqrt{3}$ - 1}{$\sqrt{3}$ + 1} = 2 - \sqrt{3}$
Ответ: $2 - \sqrt{3}$
$\sin альфа = \frac{c}{} c $\sqrt{3}$ = \frac{1}{} \sqrt{3}$
Пусть касающиеся шары радиусов r и R (r R) с центрами O1, O2 вписаны в трёхгранный угол с вершиной P некоторого куба, M1 и M2 — точки касания шаров с плоскостью какой-нибудь грани трёхгранного угла, Q — точка касания шаров. Тогда O1M1 и O2M2 — перпендикуляры к этой плоскости, точка Q лежит на отрезке O1O2, прямая O1O2 образует с этой плоскостью угол α.
Проведём плоскость через параллельные прямые O1M1 и O2M2 (рис. 2). Опустим перпендикуляр O1F из центра O1 меньшего шара на прямую O2M2. В прямоугольном треугольнике O1FO2 известно, что
O1O2 = r + R, O2F = R − r, ∠FO1O2 = α.
[рис.] Поэтому
$\frac{R - r}{R + r} = $\frac{O_2F}{O_1O_2}$ = \sin \angl FO_1O_2 = \sin альфа = \frac{1}{} \sqrt{3}$
Тогда $( R - r ) $\sqrt{3}$ = R + r, R ( $\sqrt{3}$ - 1 ) = r ( $\sqrt{3}$ + 1 ) .$
Следовательно,
$\frac{r}{R} = \frac{$\sqrt{3}$ - 1}{$\sqrt{3}$ + 1} = 2 - \sqrt{3}$
Ответ: $2 - \sqrt{3}$
Правильный ответ:
$2 минус корень из 3$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70945 • Задание №18
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$система выражений левая круглая скобка yx ми...
ID 68221 • Задание №14
Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной 10 и ∠A = 120° расположен так, чт...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №10 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 66389
В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результа...
ID 66390
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешев...
ID 66391
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек доро...
ID 66392
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общ...
ID 66393
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей...