а)  Пусть M  — середина ребра BC, N  — ребра CC1, O1  — ребра A1C1.
Поместим призму в декартову систему координат, как показано на рисунке 1.

[рис.]

Выпишем координаты некоторых точек: O(0; 0; 0), $M ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;1;0 )$ N(0; 2; 2), O1(0; 0; 4); A(0; −2; 0); A1(0; −2; 4); $B ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;0;0 ) ;B_1 ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;0;4 )$
Будем искать уравнение секущей плоскости в виде ax+by+cz+d  =  0. Пусть d  =  4, тогда:

$$$\begin{cases} новая строка $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента a + b + 4=0 \\[6pt] новая строка 2b + 2c + 4=0 \\[6pt] новая строка 4c + 4=0 . \end{cases}$$$

Отсюда ясно: c  =  −1; 2b − 2 + 4  =  0; b  =  −1; $\sqrt{аргумента: 3} аргумента a - 1= - 4;a= - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Итак, искомое уравнение имеет вид: $ - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x - y - z + 4=0$ или $\sqrt{аргумента: 3} аргумента x + y + z - 4=0$ Найдем уравнение прямой A1B1. Оно при z  =  4 будет иметь вид:

$\frac{x - 0}{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 0} = \frac{y + 2}{0 + 2}$
или

$2x=2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента y + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно x= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента y + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Если пересечение секущей плоскости и прямой A1B1 обозначить Q (эта же точка будет служить одной из вершин искомого сечения) то координаты этой точки найдутся как решение системы уравнений:

$$$\begin{cases} новая строка x= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента y + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \\[6pt] новая строка z=4 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x + y + z - 4=0 . \end{cases}$$$

$\sqrt{аргумента: 3} аргумента ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента y + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) + y + 4 - 4=0 = сильно 3y + 6 + y=0 = сильно y= - 1,5$
$x= - 1,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно x=0,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Таким образом, $Q ( 0,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ; - 1,5;4 )$ Проекцию точки Q на нижнее основание призмы обозначим Q1, $Q_1 ( 0,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ; - 1,5;0 )$
Теперь найдем уравнение прямой AB. Оно будет иметь вид: $$$\begin{cases} новая строка z=0 \\[6pt] новая строка x= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента y + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента . \end{cases}$$$
Если точку пересечения секущей плоскости и прямой AB обозначить R, то решение системы

$$$\begin{cases} новая строка x= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента y + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \\[6pt] новая строка z=0 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x + y + z - 4=0 \end{cases}$$$

и будет координатами точки R (она же последняя неизвестная вершина искомого сечения).

$\sqrt{аргумента: 3} аргумента ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента y + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) + y + 0 - 4=0 = сильно 3y + 6 + y=4 = сильно 4y= - 2 = сильно y= - 0,5$ $\sqrt{аргумента: 3} аргумента ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента y + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) + y + 0 - 4=0 = сильно$
$ = сильно 3y + 6 + y=4 = сильно 4y= - 2 = сильно y= - 0,5$
$x= - 0,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно x=1,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Таким образом, $R ( 1,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ; - 0,5;0 )$
Соединим точки M и N, N и O1, O1 и Q, Q и R, R и M отрезками. Пятиугольник MNO1QR  — искомое сечение. (Доказательство не требуется).
б)  Нормальный вектор секущей плоскости имеет вид: $\overlinen_1= ( \overline $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;1;1 )$ а нижнего основания призмы: $\overlinen_2= ( \overline0;0;1 )$ Пусть угол между сечением и нижним основанием призмы будет φ, тогда:

$\cos \varphi = \frac{\left| $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 |}{$\sqrt{аргумента: 3 + 1 + 1}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 0 + 0 + 1}$ аргумента} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$

Найдем площадь проекции секущей плоскости на нижнее основание призмы. Искомой проекцией будет пятиугольник Q1OCMR. (рисунок 2).
[рис.] Докажем, что OQ1 ⊥ AB, RM ⊥ AB.

$\overlineOQ= ( \overline0,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ; - 1,5;0 )$
$\overlineAB= ( \overline2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;2;0 )$
$\overlineOQ \cdot \overlineAB=0,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1,5 \cdot 2 + 0 \cdot 0=3 - 3 + 0=0$
$\overlineRM= ( \overline $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;1 + 0,5;0 - 0 ) = ( \overline - 0,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;1,5;0 )$
$\overlineRM \cdot \overlineAB= - 0,5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1,5 \cdot 2 + 0 \cdot 0= - 3 + 3 + 0=0$

В Δ AQ1O

$AQ_1=AO \cdot \cos 60 в степени ( \circ ) =2 \cdot $\frac{1}{2}$ =1;OQ_1=AO \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) =2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

$\Delta AQ_1O=\Delta BRM$ по гипотенузе, = й 2, и острому углу 60°. Следовательно,

$S ( Q_1OCMR ) =S ( ABC ) - 2S ( AQ_1O ) = \frac{16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} - 1 \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $S ( Q_1OCMR ) =S ( ABC ) - 2S ( AQ_1O ) =$
$= \frac{16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} - 1 \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$S_сеч.=3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента : \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} =3 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$

Ответ: б) $3 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$

Приведём другое решение:
а)  Пусть M  — середина ребра BC, N  — ребра CC1, O1  — ребра A1C1 (рисунок 1)
[рис.]
Построение:
1)  Проведем отрезки MN, NO1;
2)  Продолжим отрезки AC и O1N до их пересечения в точке K.
3)  Проведем прямую KM до пересечения с AB в точке R.
4)  Продолжим отрезки MN и B1C1 до их пересечения в точке L.
5)  Проведем прямую LO1 до пересечения с A1B1 в точке Q.
6)  Соединим отрезком точки Q и R.
Пятиугольник MNO1QR  — искомое сечение. (Доказательство не требуется).
б)  Рассмотрим треугольники O1C1N и MCN. Они оба = бедренные и прямоугольные, равны по двум катетам. Очевидно, что $O_1N=MN=2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$\Delta O_1C_1N=\Delta KCN$ так как они прямоугольные, у них: $\angle O_1NC_1=\angle KNC$ как вертикальные, C1N  =  CN по условию, откуда: $NK=Q_1N=2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ;CK=C_1O_1=2$
Треугольник MCK  — = бедренный, значит,

$\angle CMK= ( 180 в степени ( \circ ) - \angle MCK ) :2= ( 180 в степени ( \circ ) - 120 в степени ( \circ ) ) :2=30 в степени ( \circ )$
$\angle CMK= ( 180 в степени ( \circ ) - \angle MCK ) :2= ( 180 в степени ( \circ ) - 120 в степени ( \circ ) ) :2=30 в степени ( \circ )$
$\angle RMB=\angle =30 в степени ( \circ )$

(они вертикальные). Тогда

$\angle MRB=180 в степени ( \circ ) - ( 30 в степени ( \circ ) + 60 в степени ( \circ ) ) =90 в степени ( \circ )$

[рис.] Пусть Q1  — проекция точки Q на нижнее основание призмы, O  — проекция точки O1 на то же основание призмы. Тогда O1Q || OQ1. Но O1Q || RM как линии, получаемые при пересечении параллельных плоскостей (оснований призмы) секущей плоскостью. Значит, OQ1 || RM, иначе говоря, OQ1 ⊥ AB.
В прямоугольном Δ BRM катет BR, лежащий против ∠RMB  =  30°, равен половине гипотенузы BM  =  2, то есть BR  =  1. Аналогично получим: AQ1  =  1. Q1R  =  4 − 2  =  2.
AB ⊥ RM, отсюда по теореме о трех перпендикулярах: QR ⊥ RM, ∠QRQ1  — угол между нижним основанием призмы и секущей плоскостью. Обозначим его φ.

$\text{tg} \varphi = $\frac{QQ_1}{Q_1R}$ = $\frac{4}{2}$ =2$
$\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{аргумента: 1 + \text{tg} } аргумента ^2 \varphi} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 1 + 4}$ аргумента} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$

Найдем площадь проекции секущей плоскости на нижнее основание призмы. Искомой проекцией будет пятиугольник Q1OCMR. (рисунок 2).

Треугольник AQ1O равен треугольнику BRM по гипотенузе, = й 2, и острому углу 60°. Следовательно,

$S ( Q_1OCMR ) =S ( ABC ) - 2S ( AQ_1O ) = \frac{16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} - 1 \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $S ( Q_1OCMR ) =S ( ABC ) - 2S ( AQ_1O ) =$
$= \frac{16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} - 1 \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$S_сеч.=3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента : \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} =3 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$

Ответ: б) $3 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$