Пусть $AC=4,BD=12$ $A_1,B_1$   — середины этих ребер соответственно. Тогда центр вписанной сферы лежит в бисектральной плоскости, проходящей через ребро BD, то есть в $BDA_1$ (она перпендикудярна AC, поэтому тетраэдр симметричен относительно нее). Аналогично центр лежит и в $ACB_1$ то есть лежит на отрезке $A_1B_1$ Очевидно $A_1B_1\perp AC,BD$ (поскольку лежит в плоскостях, перпендикулярных этим отрезкам). Тогда

$A_1B_1= $\sqrt{аргумента: AB ^2 - BB_1 ^2 - AA_1 ^2}$ аргумента $\sqrt{аргумента: 7 ^2 - 6 ^2 - 2 ^2}$ аргумента =3$

Тогда

$V_ABCD= $\frac{1}{6}$ \cdot AC \cdot BD \cdot d ( AC,BD ) \cdot \sin \angle ( AC,BD ) = $\frac{1}{6}$ \cdot 12 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1=24$

Далее,

$d ( B_1, ABC ) = $\frac{1}{2}$ d ( D,ABC ) = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{3V_ABCD}{S_ABC}$ = \frac{36}{2 $\sqrt{аргумента: 49 - 4}$ аргумента} = \frac{6}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$

Найдем радиус вписанной сферы. Он равен

$\frac{3V_ABCD}{S_ABC + S_ABD + S_ACD + S_BCD} = \frac{6}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$

Итак, на отрезке $A_1B_1$ располагается точка на расстоянии $\frac{6}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$ от плоскости ABC, при этом расстояния от точек $A_1$ и $B_1$ равны $0$ и $\frac{6}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$ Значит, она делит этот отрезок в отношении $\sqrt{аргумента: 5} аргумента : $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$ и располагается на расстоянии $\frac{3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$ от точки $B_1$ Это и есть ответ.

Ответ: $\frac{3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$