[рис.] Рассмотрим треугольники с вершинами в центре сферы,вершине S и точках касания сферы с боковыми ребрами. Они все равны по гипотенузе (общей) и катету (радиусу), поэтому у них равны и расстояния от точек касания до $S$ Из условия о равенстве отношений получаем, что боковые ребра пирамиды равны. Следовательно, ее высота падает в центр H описанной окружности основания.
Пусть это отношение было = $k$ Продолжим луч O (O  — центр сферы) и отметим точку $O_1$ так, чтобы $SO_1= ( k + 1 ) SO$ Тогда перпендикуляры из $O_1$ на боковые ребра будут падать в $L,M,N$ то есть точка $O_1$ = удалена от них. Поэтому ее проекция на плоскость LMN  — центр описанной окружности треугольника $LMN$ Следовательно, O лежит на $SH$ Тогда

$R_LMN= $\frac{LM \cdot LN \cdot MN}{4S_MLN}$ = \frac{5 \cdot 9 \cdot 10}{4 $\sqrt{аргумента: 12 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2}$ аргумента} = \frac{75}{4 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента} =HN$

Рассмотрим треугольник SHN. Пусть $\angle INO= альфа$ тогда $\angle HNS=2 альфа$ (поскольку O = удалена от ON и SN, она лежит на биссектрисе угла). Тогда

$\text{tg} альфа = $\frac{OH}{HN}$ = \frac{14}{15}$ $\text{tg} 2 альфа = \frac{2 \text{tg} альфа}{1 - \text{tg} ^2 альфа} = \frac{420}{29}$ $SH=HN \cdot \text{tg} 2 альфа$

и

$V_SLNM= $\frac{1}{3}$ \cdot SH \cdot S_LNM= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{420}{29}$ \cdot R_LNM \cdot S_LNM= $\frac{140}{29}$ \cdot $\frac{ML \cdot MN \cdot LN}{4}$ = \frac{15750}{29}$ $V_SLNM= $\frac{1}{3}$ \cdot SH \cdot S_LNM= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{420}{29}$ \cdot R_LNM \cdot S_LNM=$
$= $\frac{140}{29}$ \cdot $\frac{ML \cdot MN \cdot LN}{4}$ = \frac{15750}{29}$

Ответ: $\frac{15750}{29}$

Приведем другое решение.

Пусть сфера касается боковых ребер SL, SM, SN пирамиды в точках P, Q, T соответственно. O  — центр сферы.
Тогда у пирамиды OPQT с основанием PQT боковые ребра равны как радиусы сферы. А значит, вершина O проектируется в центр описанной окружности (назовем K) около основания (действительно, прямоугольные треугольники PKO, QKO, TKO равны по гипотенузе и катету, а значит точка K = удалена от каждой вершины основания PQT).
Но ведь тогда и, в обратную сторону, в пирамиде SPQT боковые ребра равны, раз ее вершина S спроектировалась в центр описанной окружности около основания.
А поскольку по условию точки касания сферы делят боковые ребра пирамиды в равных отношениях, считая от вершины S, то и LS  =  MS  =  NS, а также S проектируется в центр описанной окружности около треугольника LMN.
Ну и поскольку плоскости (PQT), (LMN) параллельны, то и точки S, K, O, H лежат на одной прямой.
[рис.]
Найдем радиус описанной окружности около основания LMN пирамиды SLMN, а так же площадь основания пирамиды.
По формуле Герона $S_LMN= $\sqrt{аргумента: p ( p - LM ) ( p - LN ) ( p - MN )}$ аргумента$ где $p= \frac{LM + LN + MN}{2}$ имеем:

$p= $\frac{5 + 9 + 10}{2}$ =12. S= $\sqrt{аргумента: 12 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7}$ аргумента =6 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента$

Тогда, пользуясь формулой нахождения радиуса описанной окружности около треугольника с площадью S и сторонами a, b, с: $R= \frac{abc}{4S}$ имеем:

$R= \frac{5 \cdot 9 \cdot 10}{4 \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента} = \frac{75}{4 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента}$

Обратимся к прямоугольному треугольнику SMH. Как мы знаем, радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости, то есть OQ ꓕ SM. Тогда из равенства треугольников OMH и OMQ (по гипотенузе у катету) следует, что OM  — биссектриса угла SMH.
Пусть $\angleOMH= альфа$ Из треугольника OMH имеем:

$\text{tg} альфа = $\frac{OH}{HM}$ = \frac{\frac{5 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента}{4} ,}{\frac{75}{4 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента}} = \frac{14}{15}$

Из треугольника SMH:

$\text{tg} 2 альфа = \frac{SH}{HM}$

Как только мы найдем $\text{tg} 2 альфа$   — мы будем знать высоту пирамиды (площадь основания мы уже знаем), тогда и объем будет найден. Итак,

$\text{tg} 2 альфа = \frac{2 \text{tg} альфа}{1 - \text{tg} ^2 альфа} = \frac{2 \cdot $\frac{14}{15}$ ,}{1 - ( $\frac{14}{15}$ ) ^2} = \frac{420}{29}$

Наконец, из треугольника SMH:

$\text{tg} 2 альфа = $\frac{SH}{HM}$ = сильно $\frac{420}{29}$ = \frac{SH}{\frac{75,}{4 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента}} = сильно SH= \frac{7875}{29 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента}$

Тогда

$V= $\frac{1}{3}$ \cdot S_LMN \cdot SH= $\frac{1}{3}$ \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента \cdot \frac{7875}{29 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента} = \frac{15750}{29}$