а)  Отметим середины AB и CD (назовем их E и F) и проведем плоскость через них и точку S. Сечение сферы этой плоскостью дает окружность, вписанную в соответствующий треугольник. Построим отдельно копию этого треугольника $( E'S'F' )$ его вписанную окружность, отметим ее "верхнюю" точку (ближайшую к $S'$ ) построим прямую, проходщую через точку касания окружности со стороной $S'E'$ и эту точку (назовем ее $S_1 )$ Она пересечет $S'F'$ в некоторой точке $K'$
Теперь на исходном рисунке отметим точку K, делящую SF в том же отношении, в котором $K'$ делит $S'F'$ Проведем через нее прямую, параллельную CD, через исходную точку касания  — прямую, параллельную AB, отметим их точки пересечения с боковыми ребрами и соединим. Полученная трапеция и будет сечением.

б)  Сразу отметим, что прямая, соединяющая точку K с точкой касания лежит в плоскости SEF, перпендикулярной AB, поэтому будет высотой в трапеции. Основания же трапеции относятся к стороне квадрата так же, как отрезки от S до точки касания или до K относятся к апофемам SE и SF. Теперь перейдем к вычислениям.
В треугольнике SEF имеем $SE=SF= \sqrt{аргумента: ( 2 $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента ) ^2 + ( 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2}аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента =EF$ Поэтому треугольник = сторонний, вписанная окружность касается SE в середине SE (назовем ее L), а точка, ближайшая к S и лежащая на окружности (назовем ее $S_1$ ) делит высоту пирамиды в отношении $1:2$ считая от S.
Проведем медиану ET. Она делит высоту пирамиды в отношении $2:1$ считая от вершины (пусть в точке O). Поэтому прямая $LS_1$ является средней линией в треугольнике ESO, то есть она параллельна ET. Значит, K  — середина ST, то есть $SK:KF=3:1$
Наконец, $LK= $\frac{1}{2}$ ET= $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ Значит, площадь сечения равна

$\frac{1}{2} \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot ( $\frac{1}{2}$ AB + $\frac{1}{4}$ CD ) = $\frac{1}{2}$ \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента =9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: $9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$