а)  В плоскости ABC проведем через A прямую, параллельную BC, а через C  — прямую, перпендикулярную BC. Обозначим пересечение этих прямых за T. Очевидно, $CT\parallel A_1K$ поэтому точка T лежит в плоскости $CKA_1$
Но также $AT\parallel BC\parallel B_1K$ $AT= $\frac{1}{2}$ BC=B_1K$ поэтому $B_1KTA$   — параллелограмм, следовательно, $B_1A\parallel KT$ поэтому $B_A\parallel A_1KC$

б)  Имеем

$d ( AB_1,CKA_1 ) =d ( A,CKT ) = $\frac{3V_CKAT}{S_CKT}$ = $\frac{d ( K,ATC ) \cdot S_CAT}{S_CKT}$ = $\frac{12 \cdot 2S_CAT}{2S_CKT}$ = \frac{12 \cdot AT \cdot TC}{KC \cdot CT}$ $d ( AB_1,CKA_1 ) =d ( A,CKT ) = $\frac{3V_CKAT}{S_CKT}$ =$
$= $\frac{d ( K,ATC ) \cdot S_CAT}{S_CKT}$ = $\frac{12 \cdot 2S_CAT}{2S_CKT}$ = \frac{12 \cdot AT \cdot TC}{KC \cdot CT}$

(поскольку $KC\perp TC$ по теореме о трех перпендикулярах).
Значит,

$d ( AB_1,CKA_1 ) = $\frac{12 \cdot AT}{KC}$ = \frac{6BC}{$\sqrt{аргумента: CC_1 ^2 + C_1K ^2}$ аргумента} = \frac{36}{$\sqrt{аргумента: 153}$ аргумента} = \frac{12}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$

Ответ: $\frac{12}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$