[рис.] а)  Рассмотрим $A_1B_1$   — проекцию AB на плоскость верхнего основания. Тогда $A_1B_1\parallel CD$ поэтому точки $A_1,B_1,C,D$ служат вершинами вписанной трапеции. Но такая трапеция обязательно = бедренная, поэтому ее боковые стороны и диагонали равны, то есть $A_1C=B_1D$ Обозначая за h высоту цилиндра, имеем

$AC= $\sqrt{аргумента: h ^2 + A_1C ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: h ^2 + B_1D ^2}$ аргумента =BD$

что и требовалось.
б)  Будем считать, что точки $A_1,C,D,B_1$ лежат именно в таком порядке (иначе переименуем точки C и D). Опустим перпендикуляр OH на CD. Заметим, что $HD=5$ $OD=13$ поэтому $OH=12$ Обозначая за $O_1$ центр нижнего основания цилиндра, находим $HO_1= $\sqrt{аргумента: HO ^2 + OO_1 ^2}$ аргумента =15$   — высота трапеции ACDB.
Опустим перпендикуляр из O на $O_1H$ Он будет также перпендикулярен CD (поскольку $OO_1$ $OH\perp CD$ то и плоскость $OO_1H$ в которой он лежит, перпендикулярна CD).
Значит, это и будет высота пирамиды. Теперь считаем

$V_OACDB= $\frac{1}{3}$ d ( O,ACDB ) S_ACDB= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{2S_OO_1H}{O_1H}$ \cdot $\frac{AB + CD}{2}$ \cdot O_1H=$
$= $\frac{1}{6}$ \cdot 36 \cdot OH \cdot OO_1=6 \cdot 12 \cdot 9=648$ $V_OACDB= $\frac{1}{3}$ d ( O,ACDB ) S_ACDB=$
$= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{2S_OO_1H}{O_1H}$ \cdot $\frac{AB + CD}{2}$ \cdot O_1H=$
$= $\frac{1}{6}$ \cdot 36 \cdot OH \cdot OO_1=6 \cdot 12 \cdot 9=648$

Ответ: 648.