Сразу отметим, что данное в условии расстояние  — высота призмы.
а)  Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам $AD,AB,AA_1$ Тогда координаты вершин будут $B ( 0,12,0 ) ,D_1 ( $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента ,0,5 )$ Значит, прямая $BD_1$ имеет уравнение $\frac{x}{$\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента} = $\frac{y - 12}{ - 12}$ = \frac{z}{5}$ а перпендикулярная ей плоскость  — уравнение $\sqrt{аргумента: 31} аргумента x - 12y + 5z + D=0$ Для того, чтобы плоскость проходила через точку $D ( $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента ,0,0 )$ нужно взять $\sqrt{аргумента: 31} аргумента x - 12y + 5z - 31=0$
Точка, делящая $BD_1$ в отношении $1:7$ имеет координаты $( $\frac{7}{8}$ $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента , $\frac{3}{2}$ , $\frac{35}{8}$ )$ Подставляя ее в уравнение плоскости, получаем $\frac{7}{8} \cdot 31 - 18 + $\frac{175}{8}$ - 31= - 18 - $\frac{31}{8}$ + $\frac{175}{8}$ =0$ то есть эта точка лежит и в плоскости, что и требовалось.

б)  Уравнение плоскости основания призмы $z=0$ По формуле найдем \cos угла

$\frac{$\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 5 \cdot 1}{$\sqrt{аргумента: 31 + 144 + 25}$ аргумента $\sqrt{аргумента: 0 + 0 + 1}$ аргумента} = \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 200}$ аргумента} = \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$

Ответ: $\frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$